D'UN SYSTÈME PESANT

CONDITIONS d'équilibre D UN SYSTÈME PESANT A LIAISONS NON COMPLÈTES.

238. Lorsqu'un système pesant n'e§t pas à liaisons complètes, il est possible que les liaisons soient suffisantes pour assujettir le centre de gravité de ce système à parcourir une surface fixe, S. Dans ce cas, le théorème du travail virtuel joint au théorème du travail de la pesanteur, indique encore les conditions d'équilibre; il faut Qt il suffit que, pour tous les déplacements virtuels iniprimés au système à partir de sa position d'équilibre, le travail de la pesanteur soit nul, c'est-àdire que le déplacenaent correspondant du centre de gravité sur la surface S soit horizontal, c'est-à-dipe enfin que le centre de gravité occupe un point P de la surface S où le plan tangent sbit horizontal.

L'équilibre peut d'ailleurs être stablCj ou instable, ou conditionnel; il sera conditionnel si. la forme de la surface S aux environs du point P est telle, que .certains déplacements du système fassent naître une tendance constante du système vers sa position d'équilibre, tandis que d'autres déplacements développent la tendance du corps à s'en* écarter indéfiniment. La dynamique seule permet dé distinguer ces divers caractères.

On peut admettre comme règle générale que réquilibre du système est stable quand son centre de gravité occupe les points les plus bas de la surface S.

L'équilibre est iitdifférent si ia surface S se réduit à un plan horizontal; alors le système est en équilibre dans toutes ses positions.

En résumé, la recherche des conditions d'équilibre d'un système pesant à liaisons se ramène à un simple problème de géométrie. Nous allons en donner des exemples.

ÉQUILIBRE d'un SYSTÈME DE TIGES PESANTES ARTICULÉES, CONTENUES DANS UN PLAN VERTICAL.

239. Soit ABCD un. contour polygonal composé de trois tiges pesantes, AB, BC, CD; la tige AB est articulée au point fixé A, c'est-à-dire qu'elle est libre de tourner autour de ce point sans rencontrer de résistance; elle est de même articulée au point B avec la tige BC, qui eôt articulée au 'point C avec CD ; cette dernière tige est enfin articulée au point fixe D. Les trois tiges sont contenues dans un plan vertical. On. demande la position d'équilibre.

Les tiges sont supposées liombgènes; leurs longueurs et leurs poids sont donnés. Leurs centres de gravilé sont aux milieux 1, 1', I", de leurs longueurs.

Soit •

AB = /, BC = i', JCD = K

Le poids de AB sera Représenté par p, le poids de BC par p\ le poids de CD par p".

Nous pourrions chercher Je centre de gravité du contour matériel ABC1>; mais il est plus simple de ramener tous les

V poids à être appliqués en des 1 points de la droite BC.

Ppur cela, décomposons le poids p en deux poids égaux à l^p, appliqués l'un en A, l'autre en B. De même, •substituons au poids p" appliqué en I" deux poids égaux à f p", appliqués l'un Fig-215. en D, l'autre en C.

Les poids appliqués aux points fixes A et D ne donnent aucun travail pendant la déformation <iu quadrilatère ABCD. Il suffit donc de chercher le centre de gravité, G, des trois poids | p,

ip

tP'

D'UN SYSIÈME PESANT. ^ 5Gô

j}', \i)\ appliqués en B, T el C; le point G apparliendra à la droite BC, e\ sera fixe sur cette droite^ car les poids | p, ;/, \p\ et leurs distances BI', PC, quantités qui servent à déterminer la position du point G, sont invariables.

L'équilibre exige que le point G soit le plus bas possible sur sa trajectoire ; mais on obtient la normale au lieu décrit par le point G en joignant ce point au point de concours, 0, des normales AB, DC menées aux trajectoires des points B et C. La condition d'équilibre est donc que la droite OG soit verticale.

On fera varier le quadrilatère ABCD; le point G décrira un certain lieu géométrique ; orf mènera à ce lieu les tangentes horizontales, et on aura les solutions cherchées. L'équilibre stable correspond aux points les plus bas de la couAe décrite par le point G. . *

240. La solution s'étend à un contour polygonal de tant de côtés qu 09 voudra, attaché à deux articulations fixes, A et F, et contenu dans un même plan vertical. Fixons par la pensée la portion DEF du contour. 11 faudra que le reste du contour, ABCD, soit en équilibre; et par suite, si Ton détermine sur BG le point Cl, centre de gravité (iespoids|p„p,, ip,, appliqués en B, en 1^ et en C, la droite 0,G, doit être verticale. De même, on fixera AB et EF, et l'équilibre du contour BCDE exigera ^'•- '^^^•

que la droite O^Gj soit verticale. Le point G^ est le centre de gravité des poids ^Pp p^, iPs, appliqués respectivement en C, enlj, et en D. Fixant enfin ABC, et opérant de même sur les poids jj„Pj,p^, on reconnaîtra qu'il faut que O^G. soit verticale.

Ces conditions suffisent pour définir le polygone.

Soit en effet n le nombre des liges AB, BC,... EF. Le nombre des côtés du polygone ABC... FA sera n-f-i, et le

nombre des dohnées qui suffisent pour le définir est par suite (I,§ 123)

2(fi — 1) — 3 — 2n — 1.

On connaît d'avance les côtés, ce qui. fait n-f-l données.

Il reste à trouver n — 2 angles ; or nous avons trouvé n — 2 conditions; car la solution indiquée revient à donner les angles que la droite AF, d'inclinaison donnée, fait avec les directions Ofi^, 0,F„ O.G5, etc., qui sont au nombre de n — 2.

Il y a donc en tout (n -f- 1) .+ (n — 2) = 2n — i données, nombre suffisant pour que le polygone soit déterminé.