ab~fv=Ff

Par le point I menons une parallèle^ IK, à l'axe OZ; elle per-

DES FORCES PARALLIKLES. 41

ceraleplanXOYen unpointK, projection du point I sur ce plan, et qui sera situé sur la droite aby projection de ÂB. Appelons % Tordonnéedupointl, représentée surlaOgureparla longueurs. Cette droite IK est donc, dans le trapèze AafrB, une parallèle aux bases Aa, Bfr. Pour en évaluer la longueur, menons la diagonale aB qui rencontre IK en un point K. Nous aurons

3 = IK=1M-|-MK.

Or, dans le triangle BAa, la droite IM, parallèle à la base, forme un triangle semblable, et par suite

Donc De même et enfin

IMIB F|' Afl—AB^Fj + Fj*

« = ».Xp^^.

»"^='»Xf7Tf.'

formule qui est générale, pourvu qu'on attribue aux ordonnées 2, z^y %^ des signes convenables.

La résultante des forces F^ et F, est d'ailleurs égale à leur sommeFj-i-F,.

n faut la composer avec la force Fj appliquée au point C, dont l'ordonnée est 2,; si l'on appelle %' Tordonnéç du point d'application de la résultante des deux forces (F^-f-F,) et Fj, on n'aura pour trouver %' qu'à appliquer la formule précédente en y changeant

^if F«» *i> H»

ce qui donnera

F«-|-F„ Fs, 3, î5,

OU bien, en observant que (F^ -i- F,) js = F^ %^ 4- F, z^, 4

^, __ Ff 'i + F* 3^9 4-^525

F4+FJ+F5

De même, pour passer à la quatrième force F^, dont le point d'application a pour ordonnée 2^, il suffira d'ajouter au numérateur de la fraction le terme ¥^z^^ et au dénominateur le terme F^, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait introduit dans la formule les n forces données. La formule finale. qui détermine le point d'application de la résultante des n forces est donc

y Figi4-F,a;a-h...+FttZ„SF3; F4-f.Fj-i-...+F„ -SF'

Ce que nous avons dit de la coordonnée Z, nous pourrions le répéter des coordonnées X et Y, de sorte que nous pouvons poser aussi les équations

Ft.r|4-Faa;,4- . . . +%a?»2Fg ""- F, + Fj+...+Fn ~ 2F '

Y Fiyi4-Faya4-...+Fny» iVy ^^ F,-4-F8 4-...4-F» ~*2F'

Ces trois équations définissent le point cherché par ses trois coordonnées X, Y, Z; on reconnaît à l'inspection des formules que le point d'application de la résultante ne change pas quand on augmente ou qu'on diminue les forces F^, F,, ..• F„ dans un même rapport ; qu'il est indépendant de Tordre dans lequel on a pris les forces pour les composer; enfin, qu'il est indépendant de la direction des forces données, pourvu qu'elles soient toutes parallèles et dirigées dans le même sens.

55. Le point d'application de la résultante de forces parallèles, de même sens, dont les points d'application et les rapports sont connus, mais dont la direction est d'ailleurs quelconque, prend en statique le nom de centre des forces parallèles.

L'existence du centre des forces parallèles une fois reconnue, on peut en déduire la démonstration de certains théorèmes de géométrie.

Premier exemple. — Étant donné un triangle ABC, imagi-

Fig. 28.

nons que les trois sommets A, B, C soient les points d'application de trois forces parallèles et de môme sens, F^, F„ F^,

Les deux forces F^ et Fj se composeront en une seule, appliquée en un point b du côté AC, et Ton aura pour déterminer ce point la relation

C6__Fi

Pour avoir la résultante des trois forces, il suffit de composer la force F^-è-Fjj appliquée en b, avec la force F„ appliquée en B. Le point d'application de la résultante appartient donc à la droite Bfr.

Mais nous pouvions procéder différemment, et composer les forces F, et Fg en une seule, égale à F, 4- F,, et appliquée en un point a, défini par l'équation

Le centre des forces parallèles se trouverait en composant là force F^ avec la résultante F, -è- F5 appliquée en a. Il est donc situé sur la droite Aa.

Le point cherché, à la fois sur les droites Bb et Aa, est au point 0, intersection de ces deux droites.

Nous pouvions encore composer les deux forces F^ et F, qui auraient donné une résultante Fj.-f- F, appliquée en un point c; le centre des forces parallèles se trouve aussi sur la droite Ce. Cette droite, aboutissant en un point c tel, que

AcTj'

passe donc par le point 0, intersection des deux droites Aa, B6.

Si Ton prend arbitrairement les points a et fc sur les côtés BC, CA, ces points font connaître le rapport des forces

^1 ç^; une fois ces points choisis, la droite Ce passera par le

Bc point 0 où se coupent Aa et Bfr, si le rapport -^ est égal