DE LA VIS

loppées au contact du filet et de Técrou. Nous pouvons déterminer la valeur de la force P. Faisons d'abord abstraction du frottement entre Técrou et le file|, et appliquons le théorème du travail. Un déplacement angulaire très-petit, 6, de la vis, entraîne un déplacement longitudinal e. Les travaux virtuels des forces F, F', qui correspondent à la rotation ô delà vis, seront égaux aux produits des moments de ces forces par l'angle ô; si donc on suppose les forces F et F' appliquées à des distances égales . OB, OA, de Taxe de la vis, et qu'on représente ces distances par la lettre fr, la somme des travaux des forces F et F' sera 2FtxO. Lé travail de la résistance P est négatif et égal à — Ps; l'équation d'équilibre est donc

et par suite

Fig. 280.

Or, soit h le pas de la vis ; pour un tour, c'est-à-dire pour une rotation égale à 2iu, la translation de la vis est égale à h; le déplacement angulaire 0 est au déplacement linéaire e dans le même rapport, et Ton peut, par suite, remplacer le rapport

- parle rapport r-, d'où résulte l'équation définitive

' P = 2FftX^.

La force P est inversement proportionnelle au pas de la vis h, et, en prenant un pas suffisamment petit, on pourra exercer un effort aussi grand qu'on voudra, avec un couple, 2Fft, d'intensité donnée. Cette remarque montre l'utilité de la dis-

position que nous avons décrite dans la cinématique (I, § 296), sous le nom de vis différentielle de Prony. Il est impossible, en pratique, de réduire le pas d'une vis au-dessous d'une certaine limite. Mais si Ton place bout à bout siir le même cylindre • deux filets de vis, de; pas h et h\ si Ton fait passer le premier filet dans un écrou fixe, et le second dans un écrou susceptible seulement de recevoir un déplacement longitudinal, la vis, en tournant, produira une translation de l'écrou mobile ; et cet écrou s'avancera de la différence fc— h' des deux pas pour chaque tour de vis. La pression P, développée contre un obstacle par l'écrou mobile, sera donc donnée par la formule

et elle pourra être rendue aussi grande qu'on voudra, en réduisant en conséquence la différence h — h\

294. Proposons-nous, en second lieu, de trouver la relation entre la résistance P et le couple moteur F x 2t, en tenant

compte du frottement développé au contact du filet de la vis avec la surface interne de l'écrou, et en supposant toujours que la vis reçoive un mouvement descendant.

Nous simplifierons le problème en admettant que le contact de ces deux parties est concentré tout le long d'une hélice moyenne, tracée, par exemple, à égale dislanee entre le cylindre formant le noyau de la vis et le cylindre tangent au bord extrême des filets. Soit r=OM le rayon de cette hélice moyenne, que nous représenterons par la courbe AB. En un point M de cette hélice, menons une normale MN à la surface hélicoïdale, et supposons, pour plus de simplicité, qu'il s'agisse de la vis à filet carré, auquel cas la normale MN sera contenue dans un plan NMV tangent au cylindre sur lequel est tracée l'hélice AB.

Fig. 281.

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DE Ul vis. 461

Menons aussi la tangente à l'hélice au point M. Au momeat où le glissement va se produire, la réaction totale, exercée sûr lepbint M par l'écrou, se décompose suivant les deux directions que nous venons de définir, et nous donne une composante normale, N, et une composante tangentielle ou frottement, fN. Ces deux forces font le même angle i avec les droites M¥, iMH, menées par le point M dans le plan tangent au cylindre qui contient Thélice AB, l'une parallèlement à l'axe 00', Taulre perpendiculairement à la première. Nous pouvons les décomposer chacune suivant ces deux directions ; les composantes de la force N seront Ncos i suivant MV, et N sini suivant MH; les composantes fN seront de même fNcosi suivant HH, et fNsin i suivant le prolongement de MV. Nous aurons donc suivant MV une force Ncost — /*Nsini, et suivant MH une force N sin i .-f- /*N cos i.

Nous pouvons faire la même décomposition en tous les points de l'hélice AB. En chacun de ces points, nous trouverons de même deux composantes parallèles à 00', dont la somme est N cosi — N/*sini, ou N (cosi — /"sini), et deux composantes perpendiculaires à l'axe 00', et ayant par rapport à cet axe un moment total égal à (N sin i -4- /*N cos i) r =Nr(sini-|-fcosi). Faisons la somme de toutes ces forces longitudinales, et la somme de tous ces moments pour toute la portion d'hélice engagée dans Técrou. Nous trouverons pour la somme des composantes parallèles à 00' Texpression

(cosi — /"sini) 2N,.

et pour la somme des moments

r (sin i + fcos i) SN.

Écrivons les équations de l'équilibre de la vis, qui sont au nombre de deu^: l'équation des forces estimées suivant l'axe, el l'équation des moments autour de Taxe ; les quatre autres équations sont satisfaites d'elles-mêmes en vertu de nos suppositions. Nous aurons

P = (cosi — /'sini) SN, 2F6 = r(î^ini + /•cosi)?N.

Éliminant £N entre ces deux équations, on obtient la relation entre les forces P et F :

Pr cos i — fsin i

Wb^ sini-\-fcost

Remplaçons f par tangç, et multiplions haut et bas par cos 9 ; il vient

Pr cos(t-f-f) , r , \

Les forces P et F étant toutes deux positives, la cotangente de Tangle i -+- f est également positive, et par suite l'arc i+9

est inférieur à 5.

On a donc

On remarquera que la formule obtenue est celle du glissement sur un plan incliné (§ 282), lorsqu'on emploie une force horizontale 2F^ à faire monter un poids Pr le long de la ligne • de plus grande pente.

295. Supposons que le mouvement de la vis s'opère en sens contraire, c'est-à-dire que, malgré l'action du couple 2Ft, la vis remonte dans son écrou sous une pression égale à P exercée de bas en haut à son extrémité. Pour passer du premier cas au second, il suffit de ch.anger 9 en — 9, car le frottement change de sens. On aura donc

^ = tang(f-y).

D'où l'on conclut i > 9, pour que les forces F et P soient encore positives.

Pour que les deux mouvements soient également possibles, il faut qu'on ait

ce qui suppose 9 < 7.