XA=(P + Y
et par suite S = p — ^. On peut donc calculer 'ô si l'on connaît
les forces X, Y, P, et la distance h. .
Il est rare qu'on ait à tenir compte de la résistance au roulement dans les applications, à cause de la petitesse de cette quantité §.
Ainsi pour un cylindre de bois roulant sur du bois dur, les surfaces élant très-bien dressées, S varie de 0'",001 à 0'°,0016.
Pour un cylindre de gaïac roulant sur un plan de chêne, Coulomb indique la valeur S= 0"^,00048.
La quantité 8 augmente quand la rigidité du plan de roulement diminue'. Les expériences sur le tirage des voitures ont donné pour une roue avec jante en fer roulant uniformément sur une chaussée empierrée, S = 0°',015quand la chaussée est à l'état parfait d'entrelieri, S=:0,041 quand elle est à Tétat .moyen, et enfin 8 = 0,063 lorsque l'empierrement est neuf et non encore cylindre.
309. Proposons-nous de chercher le travail du roulement d'un cylindre sur un plan horizontal en supposant le mouvement uniforme. ^ ^
Les forces P et Y, normales aux chemins décrits par leurs points d'application, ne produisent aucun travail.
Il en est de même de la force T, car la rotation instantanée s'opère autour d'un point du plan de roulement voisin du point C, et la trajectoire du point G est sensiblement normale à la direction du frottement T.
Les forces X et N produisent seules du travail, et par suite le travail de l'une est égal, au signe près, au travail de l'autre. Le travail du roulement s'obtiendra donc en prenant avec le signe — le travail de la force X.
Si le centre 0 du rouleau avance d'une quantité ds, le point D
avance d'une quantité égale à — ^ — , en appelant R le rayon
du rouleau. Le travail de la force X est ^^ X rf^.
Mais
Le travail du roulement s'exprime donc aussi par
ce résultat est évident, car N8 est le moment de la force N par
ds rapport au point A, et -^ est Tangle infiniment petit dont
tourne le cylindre autour de l'arête A quand le centre avance de la quantité ds.
Le travail résistant qui correspond au roulement contient en facteur cette quantité h. On voit qail y a avantage à la réduire le plus possible, ce qui revient à employer des matières dures pour la fabrication des pièces qui doivent rouler les unes sur les autres.
TRANSPORT HORIZONTAL DES FARDEAUX. MADRIER ROULANT SUR DEUX CYLINDRES EGA L^.
310. Soit MM' un plan horizontal; 0 et 0' sont deux rouleaux égaux et composés de la môme matière ; leur rayon commun est r/ et la distance f''^ ]G^ f ' de leurs centres est a;
ils pèsent chacun p kilogrammes.
Un madrier CD, d'épaisseur c, est posé sur les deux rouleaux et porte un fardeau dontle poids est P.
On connaît la distance x de la verticale du centre de gravité G du fardeau, y compris le poids du madrier, au centre 0 de Tun des deux cylindres.
Pour obtenir le roulement uniforme des cylindres et le
déplacement du madrier dans le sens CD, on applique une
force 0 au milieu de l'épaisseur du madrier. On demande la
condition pour que le mouvement soit uniforme..
La réaction du sol sur le rouleau 0 passe en un point a
Fig. 290.
situé à la distance Aa = 8 en avant du point de contact géométrique du cercle et de la droite MM' ; elle se décompose en deux forces, l'une N normale au plan MM', l'autre F, parallèle. . . '
De même si Ton prend la longueur A'a'=S en avant du point A', le point a' sera le point de passage de la réaction du sol sur le rouleau 0'; cetle réaction se décompose en deux forces, TuneN' normale, l'autre P' parallèle au plan MM'.
Le madrier roule sur les cylindres en B et B'; pour tenir compte de la résistance au roulement, il suffit de prendre, en arrière des points B et B', des quantités Bp = B'P' = §', valeur correspondante au roulement de bois sur bois- Les réactions développées aux points B et B' se décomposent chacune en deux- forces, que nous appellerons N^ et F^ pour le rouleau 0, N/ et F/ pour le rouleau 0'.
Ces réactions, changées de sens, sont les forces exercées par les rouleaux sur le madrier.
Noiis avons pfis les points P' et p en arrière des contacts géométriques B et B', parce qu'en effet, dans le mouvement • relatif des rouleaux par rapport au madrier, les rouleaux s'avancent vers la gauche de la figure.
Écrivons les équations. d'équilibre des trois solides constituant le système, savoir les deux rouleaux et le madrier; nous obtiendrons les neuf équations suivantes :
rouleau 0 ( F = Fj,
F.xV=Na + V^ |«— ofnTI'
Moments par rapport
rouleau G' / F' = F/,
madrier
Q = Fi +F'i,
P^4.0x:f-N'^fli Mo«^e"*s par rapport raî + QXg-^iXei.j aupoint|3.
Dans la dernière équation, on néglige S' vis-à-vis de x dans
l'expression du moment de la force P, et 8' vis-à-vis de a dans l'expression du moment de la force N/.
Les données sont S, 8', a, c, et le poids P. Les inconnues sont N, N,, N', N/, F, F, F,, F/. et Q. Les peuf équations permettent de déierminer ces inconnues en fonclion des données et de la distance Xy laquelle varie à chaque instant à mesure que le roulement s'opère; il est facile en effet de reconnaître que le déplacement du madrier est double du déplacement des centres 0 et 0' des cylindres. Cette circonstance exige que Ton ait au moins trois rouleaux pour employer ce mode de transport; au bottt d'un certain'parcours, le madrier abandonne le dernier rouleau, que l'on reporte en têie, sous la partie du madrier amenée en porle-àfaux par le mouvement.
Pour résoudre les équations, et trouver le rapport de la
force Q à la force P, nous les simplifierons en elfaçant le
poids p du rouleau, qui est toujours très-petit par rapport aux
forces N, N', et en supprimant aussi le terme Qx ^ > ce qui
revient à supposer le madrier satis épaisseur. On a alors N == Nj, N' = Np et par suite
Donc
et enfin
P = N,-j-N,' = N-fV,
rapport indépendant de la quantité variable x. .
Le déplacement du madrier étant double du déplacement des rouleaux, si l'on appelle ds l'espace décrit par le centre 0,
l'espace décrit dans le même temps par le madrier sera 2dSy et le travail moteur sera
2Q</5 = vL±I(j8.
Si le fardeau P avait glissé sur le sol, le coefficient du frottement étant /*, le travail à dépenser eût été 2?fds.
L'emploi des rouleaux a donc réduit le travail à produire
dans le rapport de à 2/*, ou de -7^7- à l'unité ; cenom-
r ' "zjr
bre est très-petit, puisque Q-et^ sont de très-petites fractions, beaucoup moindres que le coefficient de frottement f.
Les forces F, F^, N, N^... varient avec la distance x. On peut vérifier que F, Fj... sont respectivement inférieurs aux produits fN, /"iNp... de sorte que les frottements des rouleaux sur le sol ou sous le madrier sont inférieurs à leurs valeurs limites; c'est pour cela qu'il y a roulement, et non glissement des solides en contact.
311. La solution géométrique du problème est facile, quand on s'en tient au môme degré d'approximation, c'est-à-dire quand on néglige le poids p des
rouleaux. La résultante des t^^ (^ ^\1\ f q
forces N, et F, fait équilibre iZFu«:__.Lf^>Q 'p^^'- " sur le premier rouleau à la / ^j \ | J / j ^ résultante des-forces Net F; ( ' )'' "^A ' ) par suite leur direction com- l ^ ^ Y ,
mune est la droite ag. De ^. ^^
Flg. 291.
môme la direction commune
des réactions totales aux points a et ^ sur le second rouleau
est la droite a p'. Ces deux droites sont parallèles.
La résultante S des forces P et Q appliquées au madrier est tenue en équilibre par les deux réactions parallèles R et R'. des rouleaux, appliquées en ^et p', dans le prolongement des droites a^, a'p'. Donc S est parallèle à R et à R'.
Il faut pour l'équilibre que IS soit parallèle à ap; or Tin-
clinaison de ag sur la verticale AB est sensiblement égale -; donc on doit avoir
condition que nous avions obtenue.
On achèvera la solution, cette condition une fois remplie, en décomposant la force S, résultante de P et Q, suivant les directions données ag et a'^'.
312. Nous n'avons pas déterminé le rendement de ce système; ce mot n'a pas de sens ici, parce que le travail utile n'est pas défini. Jusqu'à présent, nous avons pris pour travail utile un travail qu'on ne puisse ni supprimer ni même j éduirc au delà de toutes limites; tel est en général le travail delà pesanteur. Or, dans ce problème, la pesanteur ne produit aucun travail, puisque le centre de gravité du syslçme ne change pas de hauteur. Le travail utde ainsi défini serait nul, et le rendement égal à zéro.
Le travail du transport horizontal des fardeaux provient entièrement en effet des résistances passives, et on peut le réduire autant qu'on le voudra par l'emploi de moyens de transport de plus en plus perfectionnés. Ainsi la résistance à la traction à faible vitesse est moindre sur: un chemin de fer que sur une route, et moindre encore sur un canal que sur un chemin de fer.
