PROPRIÉTÉS

pour longueur T x ^. De même la projeclion de T' sur CN a

pour valeur T'x^, et la somme de ces deux composantes

est égale h (T h- T') x ^\ On a donc pour Téquilibre

{T-^v)x^ = pxm\,

ou bien, en observant que les tensions T pu T' sont infiniment peu différentes Tune de Tautre, et que Ton peut par conséquent substiluer à leur somme le double de Tune d'elles, 2 T,

Tw=;?xM'R.

Dans cetle équation, remplaçons w par le rapporl- de

P Tare M'M" au rayon de courbure CM; remplaçons de même T

par sa valeur p%^ ou p x M?n, il viendra

M'M" pXUmx = ;îxM'R,

OU bien

Prolongeons la normale jusqu'au point N où elle coupe la droite bm; les triangles M m N, M'RM", qui ont leurs côtés respectivement perpendiculaires, sont semblables et donnent la.proportîon

Hm "Wil'

Doncp = MN.

Dans la chaînelte^Je rayon de courbure en un point donne M est égal à la portion de normale comprise entre le point M et la droite bm*

Il résulte de là que si l'on fait tourner la chaînette autour de la droite fcm, la surface de révolution qu'elle engendre, et que nous avons appelée alysséide (§ 214);aura.pour rayons de courbure principaux les longueurs égales, MC et MN.

DE LA CHAINETTE. 527

Uindicairice de la surface sera donc une hyperbole éqiiilatère. L'hélicoïde gauche à plan directeur, qui, comme nous l'avons observé, est applicable sur Talysséide, possède la même propriété.

352. Remarquons que la forme de la chaînette dépend uniquement de la longueur a; en d'autres termes, la chaînette n'a qu'un seul paramètrey comme le cercle, la parabole, la cycloïde, la logarithmique, et par conséquent, toutes les chaînettes sont des courbes semblables.

PROPRIÉTÉ DE MmiMCM DES COURBES FUNICULAIRES.

353. Revenons au cas particulier dans lequel X, Y, Z sont donnés en fonction des coordonnés ar, j/, Zj et supposons de plus que \dx 4- Ydy 4- Zdz soit la différentielle exacte d'une fonction ç (x, y, z) de ces coordonnés. L'équation

OÙ C représente une constante arbitraire à laquelle on peut attribuer successivement une infinité de valeurs, représente une famille de surfaces de niveau, normales en chacun de leurs points à la force (X, Y, Z) qui y serait appliquée par unité de longueur de fil.

Soit ACB la forme d'équilibre du fil soumis à ces forces ; prenons sur la courbe deux points A et B assez voisins pour que l'arc ACB ne coupe qu'une fois chacune des surfaces de niveau S', S", S'",..., S qui passent entre ces deux points.

La courbe ACB jouit d'une propriété de minimum qui la distingue de toute autre courbe joignant le point A au

Fig. SI 7

point B. Pour définir celle propriété, observons que l'équation

dT-i-lkdx + Ydij + ldz^O (1)

fait connaître à une constante fr es les valeurs de la fonction T en tous les points de l'espace. On a en effet, en intégrant,

T 4- f (X, y, -•) r^ const. (2)

Celle fonction T représente la tension du fil en chaque point de la courbe ACB. Convenons qu'elle représentera aussi pour nous la tension en chaque point de toule aulre courbe ACB, menée entre les mêmes points A et B, bien que ce mot de tension n'ait plus alors de signification mécanique comme lorsqu'il s'agit d'un fil; de sorte que nous puissions dire qu'il y aune tension T, fournie par Téquation (2), en un point m' de la courbe ACB. Les tensions étant constantes tout le long d'une même surface de niveau, la lensiori fictive en m' sera égale à la tension. réelle développée dans le fil au point m.

Nous allons faire voir que l'intégrale /Trfs, prise entre les points A et B le long de la courbe ACB, est plus petite que la même intégrale prise le long de to\ite autre courbe ACB, joignant les mêmes extrémités; qu'en d'autres termes, la courbe d'équilibre- rend cette fonction minimum. 11 suffit, pour établir ce théorème, de démontrer que l'intégrale /Trf* ne change pas de valeur, aux infiniment petits du second ordre près, quand on passe de la courbe d'équilibre ACB à une courbe ACB infiniment voisine.

Étudions la variation de cette intégrale. Pour cela, prenons un élément mn = rfs sur la courbe d'équilibre, et comparons-le à rélément mV, compris entre les mômes surfaces de niveau sur la seconde courbe. Les tensions T étant les mêmes pour ces deux éléments, puisqu'ils sont corppris entre les mêmes surfaces de niveau, l'élément de l'intégrale Tds subit seulement la variation du facteur ds, et s'accroît de la quantité Tô(rfs) en désignant par ^cls) la différence mV — mn des deux arcs. Pour comparer les deux courbes, nous avons donc à faire la somme /Târfs, entre les points A et B. On peut y par-

DES GOUEIBES FUNIGULAIHES. 529

venir par les règles du calcul des variations. Mais il est plus simple d'avoir recours à une interprétation mécanique, qui permet de faire Tintégration sur la figure^

TMs est le travail de deux forces égales à T, appliquées en sens contraires et en prolongement Tune de Tautre, aux deux bouts de l'élément mn, quand les points d'application m et n reçoivent les déplacements infiniment petits mm\ nn! (§ 123). L'intégrale /TSds est la somme des travaux de tous les systèmes binaires de forces analogues que l'on peiit concevoir dans tous les arcs .élémentaires de la courbe ACB.

Mais nous pouvons grouper autrement ces forces pour en trouver le travail total. Au point w, dans le sens mn prolongé, nous avons une force T, tension de l'élément nm; au même point, dans le sens pn prolongé, existe une tension T 4- dT, tension de l'élément np.

Appelons Sx, Sy, 8:5, les projections du déplacement nn' sur les trois axes coordonnés. Les composantes de la force T sont suivant les mômes axes

dx dy ^dz

Ws ds ds

Les composantes de la force T h- dT sont de même

Pour avoir le travail total de ces deux forces, il suffit de multiplier respectivement chaque composante par là projec- . tien du déplacement et d'ajouter, ce qui donne

La somme /TSds, prise entre les limites A et B, est donc égale à la somme

prise entre les mêmes limites.