PARABOLE
égales. La résullanle des poids appliques à une moitié, BC, sera égale à pa, et celte force passera en. un point 1^ milieu de Bc. Appelons T^ la tension du fil au point B ; la force horizontale T^ et la force verticale pa font équilibre à la tension du (il au point C ; 'prenons les moments par rapport à ce point ; nous aurons pour déterminer T^ l'équation
ou bien
f étant la flèche B6, égale à la hauteur Ce du point d'aftache audessus du point le plus basi La tension au point G est tangente à la codrbe formée par le fil ; et comme elle fait équilibre aux forces Tç et pa, les directions des trois forces se coupent en un même point, c'est-à-dire au point I; on obtient donc la tangente à la courbe en un point C quelconque enjoignant ce point au milieu de la projection de l'arc BC sur la tangente Bc au sommet B. Plus généralement deux tangentes quelconques, menées à la courbe, se coupent sur la droite menée, parallèlement à Taxe, par le milieu de la corde qui joint les points de contact.
Ces propriétés définissent la parabole. Pour trouver l'équation de la courbe, considérons un arc quelconque BM, commençant au point B. Soit Bm = x et mM=:5 les coordonnées du point M.
L'arc BM est en équilibre sous Faction de la force horizontale Tq, du poids Bmxp, vertical et appliqué au milieu m de la distance Bm, et enfin de la tension au point M. Prenant les moments par rapport à ce dernier point, on aura Téquation
ou bien
To X BIm = (Bwi X p) X B;i, .
équalion d'une parabole rapportée à son [axe Bb et à la tangente en son sommet.
La composante horizontale de la tension en un point quelconque est constante et égale à T^.
CHAINETTE.
329. La chaînette est la courbe d'équilibre d'un fil homogène pesant. Elle diffère de la parabole, avec laquelle on la d'abord confondue, en ce que le poids ]^ au lieu d'être uniformément réparti sur l'horizontale, est uniformément réparti suivant la courbe elle-même. Il résulle de là qu'il y a très-peu de différence entre la chaînette el la parabole dans l'a région voisine du sommet B de3 deux courbes; car dans celte région il y a une différence insensible entre la longueur de l'arc de courbe et la longueur de sa projection.
Prenons l'axe des z vertical et montant ; nous aurons \ds=0, Yds=Oy l(ls = — pds, et les équations d'équilibre deviendront
Des deux premières on déduirait, comme dans le problème précédent, que la courbe est tout entière contenue dans un plan vertical. Prenant ce plan pour plan des ZOX, ce qui revient à faire t/= 0, on est ramené aux deux équations
Intégrons. Il vient, A et B étant des constantes,
dx
518 CHAINETTE.
Nous pouvons supposer la constante B nulle, en comptant sur la courbe les arcs s a partir du point le plus bas, pour
lequel ^ =:0. On a en ce point j- =1, donc A est la valeur,
T^, de la tension au point le plus bas de la courbe. Nous avons ainsi les deux équations :
ds
=pft.
Élevons au
carré et
ajoutons ;
il vient
T«=rTo«
et
par
suite
en prenant le radical positivement. Substituons dans les deux équations précédentes, et résolvons par rapport à dx et dz; nous oblenons les relations
, lods
(ix =
' y/To* +i^v' psds
que Ton peut intégrer par quadrature. La première peut se mettre sous la forme
" V'Hff- .,
On est conduit à intégrer une différentielle de la forme
du . , ,> dont rintégrale est
log nép(M-hyi4-u*).
Donc
CHAINETTE, 619
La seconde» équation s'intègre en multipliant et divisant le second membre par p ; il vient
z = const 4- - v'To* 4- p*s*.
Les coordonnées xciz s'expriment ainsi en funclion de Tares, mesuré à partir du point le* plus bas de la courbe. Nous pouvons effacer les conslantes, en choisissant convenablement l'origine. Pour 5 = 0, c'est-à-dire pour le point le plus bas,
T nous aurons alors ,aj = 0, z^-^. L'origine esl, d après cette
convention, un point situé verticalement au-dessous du point
T le plus bas, à une dislance égale à — . Les équations de la
chaînette deviennent '
Les radicaux doivent toujours être pris positivement. Ces équations montrent que si Ton change s en — s^ z reste le même, tandis que x se change on — x. En effet la quantité sous le signe log devient par ce changement
îW^
.EÎ + t/,4-'â.*
t; "^ V ' ■*" tt» '
Or le produit de celte différence par la somme
est égal à l'unité; la so nme^ies logarithmes esl donc nulle, et les deux valeurs de x sont égales en yaleur absolue et de signes contraires.
On a à la fois les trois équations .
5i0 PROPRIÉTÉS
Les deux premières nous donnenl
To ^ V To*
To
Remplaçons le radical par sa valeur fournie par la Iroisième ; il vient
Ajoulons et retranchons ; nous aurons
Celte dernière équation définit la courbe. L'autre fait connaître l'arc de la chaînette en fonction de l'abscisse.
Nous avons vu que — est la distance de Torigine au-dessous
'^ du point le plus bas de la chaî-
nette ; appelons a cette dislance.
L^équation dp la courbe prendra» la forme
Soient OX, OZ, les axes; prenons OB=a ; le point B appartiendra à la courbe.
Construisons la logarithmique PQ représentée par l'équa-
lion l=zae^; elle est asymptote à la partie négative de l'axe
Fig. 512.
DE LA CHAINETTE. 521
des X ; la courbe z=ae " est une logarithmique P'Q' symétrique de la première par rapport à Taxe OZ. Ces deux courbes passent au point B. La chaînette ABC est le lieu des milieux M des intervalles QQ' compris entre les deux logarithmiques sur toute ordonnée menée parallèlement à Taxe OZ.
330. Les équations précédentes permettent de faire une élude complète de la chaînette. Mais on peut faire la même étude sans y avoir recours.
Nous allons chercher les principales propriétés géométriques de la courbe, en exprimant qu'un arc quelconque est en équilibre sous l'action de son poids et des tensions qui s'exercent tangentiellement à ses deux extrémités.
Soit ABC la forme d'équilibre à laquelle nous donnons le nom de chaînette. A et C sont, par exemple, les points où s'attache le fil ; B est son point le plus bas.
Prenons un arc quelconque de courbe MN, et menons aux points M et N les tangentes MT, NT', qui sont les directions des tensions T et T'. Les deux droites MT, NT', se coupent en un point S, qui se trouvera sur la verticale menée par le centre de gravité de l'arc MN, car les deux forces T et T' font équilibre au poids MNxp de l'arc, qu'on peut regarder comme appliqué en son centre de gravité.
Décomposons les forces T et T' en deux composantes, Tune horizontale T^, l'autre verticale., T^, et T'^. Les deux composantes horizontales "seront égales ; quant aux composantes verticales, on aura entre elles la relation
T', = Tj4-;;XMN.
On a enfin à exprimer l'équilibre du couple (T^, — TJ et du couple auquel on peut réduire les forces parallèles T\, T^, et p X MN ; ce qui conduit à poser l'équation des moments
Tj X EN + (p X MN) X FN = To X ME.
522 PROPRIÉ/rËS
Nous pouvons trouver très-facilement une relation enlre les tensions T et T'. En effet, prenons un arc infiniment pelil MN (fig. 314), et projetons les trois forces T,T' et pxMN, qui se font équililire, sur la tangente au point M, ou sur la direction de la force T; la force T', qui fait avec Taxe de projection un angle infiniment pelit^s'y projette en vraie grandeur aux infiniment petits du second ordre pi:ès. Donc la force T' excède la force T de la composante tangentielle de la force verticale p x MN ; mais projeter sur la tangente une longueur proportionnelle à MN, prise sur la verticale, cela revient a prendre cette quantité sur la tangente, ou sur l'arc lui-même, et à la projeter sur la verticale; la projection cherchée est donc égale au produit de p par la projection verticale NP de Tare MN, ou par la différence de hauteur, dz^ des deux extrémités, M et N, de Tare. On a en définitive
Celte relation peut s'étendre à uïi arc fini MN quelconque (fig. 313), car on peut toujours décomposer cet arc en éléments aussi petits qu'on voudra, à chacun desquels l'équation sera applicable, et il n'y aura qu'à faire la somme de toutes ces équations pour obtenir l'équation relative à un arc quelconque. Donc
La tension au point le plus bas, B, est horizontale, et par • suite égale à T^, puisque la composante horizontale de la tension est partout la même. Appelons H la hauteur d'un point quelconque, M, au-dessus du point le plus bas : la tension T en ce point sera donnée par l'équation
T = To+i)H.
H est la différence z — z^des ordonnées du point M et du point B.
DE LA CHAINETTE.
On peut représenter les tensions par le poids d'une certaine longueur de fil ; la tension T^, sera, par exemple, représentée par une longueur a de fil fournie par l'équation pa = T^, ; dans celte hypothèse, la tension! en un point M quelconque est représentée par la longueur de fil m- H, car on a toujours
. T = To-h;;n=;;;X(fl4-H).
Menons au-dessous de la courbe, à une dislance verticale Bft=û de son point le plus bas, une horizontale bm (fig. 315). Le point M de la courbe sera à la distance MP-hPm=H -t- a de celle droite, et par conséquent Mm représente, en lo ngueur de fil, la tension T au point M. On voit que, si l'on place en M une poulie infiniment petite, et qu'on fasse passer le fil sur cette poulie, l'équilibre sera assuré par le poids du brin Mm , pourvu qu'on donne à ce brin une longueur telle qu'il atteigne sans la dépasser rhorizonlale hm.
• Nous avons vu tout à l'heure que la composante verticale, T^, de la tension au point M surpasse la même composante en un autre point B, de tout le poids de l'arc BM; soit s cet arc compté à partir du point le plus bas; la composante verticale étant nulle en B, on aura simplement
La tension totale T est la résultante de deux forces rectangulaires T^, et Tj ; donc
ou bien
Appelons 2, pour abréger, la distance totale Mm ; il viendra, en supprimant le facteur commun p,
524 PRO^RIÉTÉS
équation qui permet de consiruirc géométriquement la longueur rectifiée de Tare s (Cf. § 214). Cet arc est en effet le second côté de Tangle droit d'un triangle rectangle, dont le premier côté est égal à a, ou à Bft, et Thypoténuse égale à z ou à Mm.
Du point m abaissons mm' perpendiculaire sur la tangente Mm' ; le triangle mm'M sera semblable au triangle MT^T, et par conséquent
mm' T« __ pa a
Mm "~ f"";; (rt 4- H) ~ rt+Tl '
OrMm = a+Il; donc mm'=a.
Le triangle mm'M est rectangle en m' ; il a l'hypoténuse Mm = 2, et le côté de Tangle droit mm' = a; doTic le second côté de l'angle droit, Mm, est égal à l'arc s.
Le point m' appartient à la développante de chaînette qui part du point B. On obtient ainsi ces deux théorèmes :
La distance du pied m de V ordonnée Mm à la tangente est constante;
La projection Mm' de V ordonnée sur la tangente est égale à rare Bm. v .
La droite mm' est tangente à la développante lieu des points m' ; on voit que la portion de la tangente à cette courbe^ comprise entre le point'^de contact et la droite bm, a une longuew' constante. La développante de chaînette qui part du sommet, est pour cette raison appelée tractrice; c'est la courbe décrite sur un plan horizontal par un point matériel tiré à chaque instant par un fil sans poids, de longueur constante m'm^ quand l'extrémité m de ce fil parcourt la droite fixe bm.
Les droites M m' et BP se coupent en un point I qui appartient à la verticale passant par le centre de gravité de l'arc BM. Les triangles IPM, MT/f sont semblables et donnent la proportion
IP 'To pa a a
qui donne la dislance IP.
DE LA CHAINETTE. 525
Si da point m on abaisse une perpendiculaire mQ sur la droite MN, normale à la chainelte au point M, on aura dans le rectangle MQmm', MQ =mm' = a. Donc le lieu du point Q est une courbe parallèle à la chaînette, équidistanle et passant au poinji b.
331. Nous avons fait usage, pour établir toutes ces propriélés, de l'équation que Ton obtient en projetant sur la tangente a la courbe les tensions du fil en deux points \ infiniment voisins. Projetons les mêmes forces sur la normale MN.
Soit C le centre de courbure d'un arc infiniment petit M' M" ; menons la normale CM qui passe par le milieu de cet arc, et appelons 10 l'angle M" CM'. L'équilibre ^. ^^^
, ' FJo' 516.
a lieu entre le poids pcls de l'arc
M" M', qui s'exerce verticalement suivant MP, et les tensions
TelT'.
Projetons ces trois forces sur la droite CN. La projection du poids MP = pd5 nous donnera d'abord une certaine droite MH, égale au produit de p par la projection sur MN d'une longueur d5 prise sur MP; or M'M" fait avec l'horizontale M'R le même angle que la verticale MP fait avec la normale MN, et par suite la projection de pxds sur la normale est égale au produit px M'R.
La force T fait avec la tangente à la courbe en M un angle
égal à ^; la projection de T sur la normale est représentée sur
la figure par le côlé TT^ du triangle rectangle TT^ M', que Ton. obtiendrait en menant par M une perpendiculaire à la direction CN, ctpar T une parallèle à la même direction. L'angle TMTj est
égal à l'angle ^, Or TT^ diffère infiniment peu de l'arc décrit
du point M' comme centre avec M'T pour rayon, lequel arc a
