DES COURBES FUNICULAIRES
Il serait facile d'étendre cette propriété à la courbe entière ACB, ce qui démontre encore la proposition.
335. Montrons enfin comment le calcul des variations conduirait à la même conclusion. Nous ne ferons cette fois aucune hypothèse sur les déplacements imprimés aux divers points de la courbe ACB, pour les amener sur la courbe infiniment voisine ACB. Soient hx^ 81/, Sa les composantes de ces déplacements. Nous avons à démontrer que
Or
SfUs = S S [Tds) = fSTds -H fTSds.
Comme nous avons l'équation générale
nous avons aussi Donc
ms—^ÇUiix-^YdsSy-^Zdsiz)
et
Calculons ensuite
jnds.
Nous avons
ds* = dx^-hdy*-^'dz^.
Passant aux variations, il vient
dsSds = dxSdx -H dySdy + dzSdZf
et par suite
/,«,.,/(tS).^^/{,^).**/{t|)«.
L'intégration par parties sépare les caractéristiques d et 8; on a en effet
De même
Donc enfin
-/[*^(T-)J,.(Tg)4-..(4)}
Mais
D'ailleurs les variations &r, 81/, 8«, sont nulles aux limites A et B. de Tintégration. On a donc, en prenant l'intégrale entre ses limites,
fTSds = J(\ds$x + YdsJy 4- IdsSz) = - J^ds.
Par conséquent
/TW« 4- JSTds = SJJds = 0,
et la proposition est démontrée.
336. Application de la chaînette. — La courbe funiculaire devient une chaînette quand on fait X=0, Y = 0, Z = — P» quantité constante.
L'équation
T-Hî> = const.
prend la forme T — p^ = C, C étant une constante. Entre deux points A et B, pris sur la chaînette ACB, l'inlégrale Jlds est minimum; donc /(p;54-C)d5, ou pfzds-^-Cf^^
est minimum le long de la courbe. Or ^^ , ou yir est
l'ordonnée verticale du centre de gravité de Tore ACB. Comparons l'arc ACB de chaînette à Tare ACB d'une courbe ayant
