DES COURBES FUNICULAIRES

même longueur. L'intégrale fds étant la même pour les deux courbes, les ordonnées des centres de gra- /

vile seront enlre ellps comme les valeurs a/

de rinlégraïe fzds; or celte intégrale /

est minimum pour la chaînette. Donc de ^J

toutes les courbes de même longueur qui joi- ^ /^c

gnent deux points donnés , la chaînette est ^ celle qui a son centre de gravité le plus bas possible : proposition que Ton aurait pu dé- h .î

duire de la théorie exposée gg 236 à 240*. ^'^' ^^^

On peut ensuite appliquer le théorème de Guldin (g 206), et on parvient à cette nouvelle proposition : de toutes les surfaces de révolution que Von obtient en faisant tourner autour d^une droite Hir les diverses courbes isopérimètres ACB que Von peut tracer dans un plan passant par HH' entre deux points don- ' ^

nés A et B, celle qui a la moindre su- h ir

perfide est engendrée par la chaînette ^*^' ^*^-

qui joint ces deuxpointSy la pesanteur étant censée agir perpendiculairement à HH'.

337. Étant donnés dans un même plan deux points A. et B et une droite OX (fig. 319), on demande de tracer dans ce plan une courbe AmnsB, qui joigne les deux points, et telle qu'en la faisant tourner autour de OX : 1"* le volume engendré par la figure AabB, terminé aux deux perpendiculaires Aa, Bb, et à la courbcy soit égal à une quantité donnée; 2^* la surface engendrée par la courbe elle-même soit minimum.

* La chaînette et l'exemple indiqué § 240 montrent bien que l'équilibre d'un système pesant à liaisons est assuré dès que son centre de gravité est le plus bas possible, lors même que les liaisons ne suffisent pas pour assujettir le centrede gravité à décrire une ligne ou une surface. Cette condition était supposée dans les §§ 235 et 238.

tions.

Supposons que la courbe AmnB satisfasse à ces deux coudions. Si on laltère infiniment peu, suivant le tracé Am'nYB,

de manière à laisser constant le volume engendré, la surface engendrée par la nouvelle courbe sera égale, à des infiniment petits d'ordre supérieur près, à la surface engendrée par la courbe primitive ; c'est la condition du

Fig. 320. ; .

minimum.

Rapportons la nouvelle courbe à Tancienne. Pour cela, appelons u l'intervalle mm' compris entre les deux courbes, mesuré sur la normale mR à la courbe primitive; la quantité u portera un signe, suivant que l'intervalle des deux courbes tombe d'un côté ou de l'autre de la première. A chaque arc mn de la courbe primitive, correspondra un arc m'n' sur la courbe déformée, et ces deux arcs, faisant entre eux un angle infiniment petit, peuvent être considérés comme parallèles. Soit C le centre de courbure de l'arc mn, ou le point de rencontre des deux normales consécutives mR, nS. Les triangles Gmn, Cm'n\ étant semblables, donnent, en appelant p le rayon de courbure Cm, et ds, ds' les arcs mn^ mV, la proportion

ds' p-\- u

ds

Donc

ds'

L'élément de surface plane mnn'm' a pour mesure uds^ et dans sa révolution autour de OX, il engendre un élément, ÎTut/wds, de la différence entre les deux volumes, en appelant y l'ordonnée mp. Cet élément a le signe de u. Nous poserons, suivant la méthode indiquée par Cauchy,

xjuds = 9 [s]