FROTTEMENT D'UN FIL

équation où a est la n^ partie de l'angle AOB, et où n est supposé infiniment grand. Soit donc A Tare qui mesure l'angle au centre AOB; nous pourrons poser l'équation rigoureuse

pour n infini. -

Faisons, pour abréger, /A = x, et cherchons la limite de

1 H — 1 lorsque le nombre n croît au delà de toutes limites.

Nous allons démontrer que

X étant un nombre constant, et n un nombre indéfiniment croissant.

En effet, .

n' Posons nx = n' ; on en déduit n ?= - , et par suite

('+:-r=('^jr- '

Le nombre n' croît indéfiniment en même temps que le nombre n.

Nous avons donc identiquement

Cette équation est encore vraie à la limite quand on y fait à la fois n et n' infinis; et par conséquent

car le changement de n' en n est indifférent du moment qu'on les suppose tous deux infinis à la fois.

La limite de ( 1 + - j est un nombre déterminé ; c*est lo

SUR UN CYLINDRE FIXE

nombre ^, base des logarithmes hyperboliques; et Ton a en déBnilive

ou bien

et nous retombons surTéqualion déjà obtenue

T=t.efK

L'emploi des logarithmes facilite le calcul .des puissances fractionnaires du nombre e.

346. Pour montrer quel usage on peut faire de la formule, supposons qu'une corde MN (fig. 330) passe sur un cylindre horizontal en bois, à la surface duquel elle glisse dans le sens AB, en embrassant une demi-circonférence; on fera

Le coefficient du frottement de la corde sur le bois du cylindre est 0,50.

On aura donc entre les tensions T et t^ l'équation

Par exemple, une personne attachée à l'extrémité N de la corde tient dans ses fnains l'autre brin AM, qu'elle laisse filer peu à peu ', de manière à se laisser descendré. La somme T -f- t^Aes tensions fait équilibre au poids de cette personne; supposons qu'elle pèse 65 kilogrammes. Les tensions t^eï T se détermineront par les équations

d'où résulte

T + f. = 65, T=r^oX4,80,

fo = || = llkil.21.

Fig. 330.

Celte tension est Teffoirt que la personne doit exercer con-

554 *• FROnEMENT D'UN FIL

stammont sur la corde pour rester maîtresse de la vitesse avec laquelle elle descend.

Si la corde faisait un tour entier autour du cylindre, il faudrait faire A = 27c ; si elle faisait deux tours entiers, A = 4x, . . .

T On peut facilement reconnaître que le rapport - grandit Irès-

rapidement avec la. valeur de A, ou avec la grandeur de l'arc

embrassé.

Au lieu de descendre, supposons que la personne veuille monter en tirant sur la corde. 11 faudra alors qu'elle développe la tension T, capable d'équilibrer la tension résistante t^ développée dans le brin auquel elle, est suspendue.

L'effort à exercer sur le brin moteur sera donc égal à

T = 65.-<o = 53kil.79,

en supposant toujours que Tare AB soit une demi-circonférence.

Une poulie est préférable aii cylindre fixe AB, s'il s'agit de monter; le cylindre fixe est préférable à la poulie*, s'il s'agit de descendre.

Cette loi explique comment, sur le quai d'un port, un seul homme peut, à l'aide d'un câble enroulé plusieurs fois autour d'un poteau fixe, arrêter un bâtiment animé dune faible vitesse. Une tension même très^petile, i^, multipliée par le facteur ^^^, qui augmente très-rapidement avec Tare A, produit dans le brin du câble qui va du poteau au navire, une tension T assez grande pour que le travail de l'extension du câble détruise sur un médiocre parcours la vitesse du bâti-, menti

trâvau du frottebœnt pour un glissement donné du fil.

347. Soit MN le fil appliqué sur une surface suivant une ligne géodési que; soient T et t^ les forces qui sollicitent le fil aux points où il se détache de la surface. Supposons que le fil

SUR UN CYLINDRE FIXE

glisse le long de la ligne qu'il occupe d'une quantité infiniment petite 5s, qui sera la même pour chacun de ces pginls.

Considérons un élément AB quelconque, que nous pourrons isoler, en introduisant les tensions t et f qui agissent à ses deux extrémités. Nous savons que la différence^ — f est égale au frottement subi par l'arc AB ; le travail du frottement^ pour cet arc est égal au produit (t'-^t)^s. Faisant la somme des expressions semblables depuis le point M jusqu'au point N, il vient (T— fj 85 pour le ti'a\ail cherché.

Faisant ensuite une seconde intégration dans laquelle le facteur H—tç^ reste constant, on aura pour le travail du frottement

OU

fù

to(e -l)s,

pour un glissement fini égal ks.