DÉMONSTRATION DU THÉORÈME

centre par un axe fixe 0 choisi de telle sorte, que la droite AO coïncide avec la direction de la force F. Nous composerons ces moufles d'un nombre de pOulies tel, qu'une section faite dans les fils «ntre les deux chapes B et C nous donne m fils •tendus.

Nous pourrons de même remplacer la force F' appliquée en A' par une paire de moufles présentant ni' cordons, et nous pourrons faire passer sur les poulies de celte seconde paire le fil CD qui quitte la première au point C.

De même, pour produire au point A" la traction F", nous appliquerons en ce point une troisième paire de moufles à m" cordons, sur laquelle nous ferons encore passer le même fil à sa sortie de la moufle précédente.

Si l'on opère ainsi pour toutes les forces, il suffira d'appliquer au bout du fil un poids égal à T, pour produire partout dans le fil une tension T, et pour développer dans les liens qui attachent les chapes aux points A, A', A",..., des tensions mT/m'T, m"T,..., égales aux forces F, P, F",...

Cela posé, donnons au système matériel un déplacement infiniment petit quelconque, compatible^vec.ses liaisons ; ce déplacement va faire varier les distances respectives des points . A, A', A", ..., aux points fixes 0, 0', 0"^ ..., auxquels jls sont •réunis par les moufles ; soient e, s', e", ..., les variations des dislances OA, OA', OA", . . ., prises positivement quand la distance diminue, négativement quand elle augmente. Cette variation va produire un déplacement du fil à la surface des poulies; pour une diminution de e dans la distance.des points B et C, il se déroulera de la paire de moufles BC, qui est à m cordons, une longueur de fil égale à ms; les variations e', e",... des autres distances produiront de même le déroulement (positif ou négatif) de longueurs de fil respectivement égales à tnV, à mV, ...; en définitive, le déplacement imprimé au système produira sur le poids tenseur T une descente totale égale à

me + m'e' -|- m^e" 4- . . .

Or ce poids tenseur est la seule force qui, étant donnée la

nouvelle constitution du système, puisse y produire un déplacement effectif; comme il tend à descendre et non à monter, on est certain que le déplacement fictif que nous avons imprinié au système ne pourra se produire si la somme

est nulle ou négative.

Mais si les déplacements du système sont possibles dans les deux sens, on pourrait, dans le cas où cette somme serait négative, la rendre positive en considérant un. déplacement contraire au premier (g 107). Il i'aut donc qu'elle soit* nulle pour que le poids T ne puisse descendre ni par l'un ni par l'autre de ces deux déplacements contraires. Donc enfin, pour que le système soit en équilibre, c'est-à-dire pour qu'aucun déplacement ne puisse y résulter de l'action simultanée des forces, il faut et il suffit que la somme rns -+- m'z -hm"e'' •+- .;. soit nulle . pour tout déplacement compatible avec les liaisons, ou, ce qui revient au même, que la somme

Tfîu + Tm'«' -h Tm"e^' + . . . ,

OU encore la somme

soit égale à zéro, quel que soit le déplacement fictif que l'on considère.

. Cette proposition n'est autre chose que le théorème du travail virtuel. La démonstration très-simple que nous venons de ,donner est tirée de la Mécanique analytique de Lagrânge.

ÉQUaiBR^ DE LA POULIE ET DES MODFLES QUAND ON TIENT COMPTE DU FROTTEMENT ET DE LA RAIDEUR DES CORDES.

359. Soit 0 (fig. 343) le centre et BC la circonférence d'une poulie sur laquelle passe la corde DE; une puissance P et une résistance Q sont appliquées aux exlrémîlés de celte corde. Nous pouvons regarder la force P comme tangente à la poulie au

Digitizé'd by

Fig. 343. .

point B; pour la force Q, elle est à une distancé OC du centre un peu plus grande que le rayon OB, à cause de la raideur de la corde.

SoitOB=r, etOC=r'.

L'axe de la poulie peut faire corps avec elle, et tourner sur des coussinets; il peut aussi rester fixe, et le frottement subi par la poulie a lieu alors entre l'œil de la poulie et l'axe autour duquel elle tourne. Nous admettrons celte dernière hypothèse.

Nous supposerons enfin que le mouvement soit sur le point àë se produire dans la direction de la flèche f.

Soit M la génératrice de contact de l'axe et de l'œil . La réaction totale de l'axe sur la poulie sera une force R, faisant avec là normale ON, en sens contraire de la rotation, un angle NMR=:(p, égal à l'angle ,du frottement. Cette force R, faisant équilibre aux forces P et Q, passe par le point A où se rencontrent les directions données de ces deux forces. Elle fait d'ailleurs un angle donné 9 avec la normale MN, menée au point de contact M. Appelons p le rayon OM de l'arbre fixe. Du point 0 comme centre, avec un rayon égal à p sin 9, décrivons une circonférence. La direction de la force R sera tangente à cette circonférence. La solution consiste donc à mener par le point A une tangente AK au cercle décrit du point 0 comme centre avec psinç pour rayon. Connaissant la force Q en grandeur, il suffira de la décomposer suivant les directions AK, AP, pour avoir les valeurs des forces P et R.

Du point A on pe.ut mener deux tangentes AK, AK' au cercle OK. L'une AK de ces tangentes correspond au cas où la poulie tourne dans le sens de la flèche f. Le contact est alors établi aii point M, si la poulie tourne seule sur un axe fixe,

Fig. 544.

et au point H^ si la poulie fait corps avec Taxe tournant dans

le tourillon. La seconde tangente AK' correspond au cas où la

poulie tournerait en sens contraire ; le contact est d'ailleurs

en M' ou en M/, suivant que Taxe est fixe ou entraîné avec la

poulie.