On peut aussi obtenir par le calcul la relation entre P
et Q. Le frottement de la poulie sur Taxe est égal au produit
R -=== , et l'équation des moments nous donne
Pr= Qr'-f-R -;==P = Qr' + R/-|/>?
en remplaçâiit par f^ le nombre — ' —
La valeur numérique de r' se déduit de la formule de la raideur des cordes.
Soit F la portion de la puissance P capable d'équilibrer la résistance Q, en supposant qu'il n'y ait d'autre résistance passive que la raideur de la corde. Nous avons posé (§ 353) l'équation
et multipliant par r,
Or Fr est égal au produit Qr'; car c'est par l'augmentation du bras de levier de là force Q que nous tenons compte de la raideur de la corde au passage de la poulie. Donc enfin
. Substituons cette valeur dans l'équation des moments; il vient :
Mais R est la résultante des deux forces P et Q, dont les directions sont données, et on a'
Rî = P« + Q»4.2PQcos(P, Q). .
Remplaçant R par sa valeur déduite de cette dernière relation, on a réquation finale qui ne contient plus que P et Q :
Pr = Qr + ^ ( A 4- BQ) -f f,p y/P» + Q* + 2PQ cos (P, Q).
Si Ton fait disparaître le radical, on . sera ramené à une équation du second degré, qui fera connaître P en fonction de Q. On peut aussi procéder par approximations suc» cessiv^s, ou enfin substiluer.au radical une fonction linéaire de P et de Q, par la méthode d'approximation de Poncelet (§275).
Lléquation se simplifie quand les forces P et Q sont parallèles. Le radical se réduit alors à P + Q, et l'on a par conséquent
ce qui donne entre P et Q une relation de la forme ^
.P = fl + 6Q.
361. Nous allons appliquer cette relation à Téquilibre des moufles, en tenant compte à la fois du frottement et de la raideur des cordes.
Soit M la moufle supérieure suspendue au point fixe 0 ; N, la moufle inférieure qui porte le poids Q; P, la puissance appliquée au bout de la corde qui passe sur toutes les poulies, renvoyée alternativement de la moufle inférieure à la supérieure et de la supérieure à rinférieure. Les cordons sont tous sensiblement parallèles entre eux, ainsi qu'aux forces P etQ, et si l'on appelle T„ T„ T,, T„ les tensions de ces cor-
dons successifs, les poulies étant toutes dans des conditions identiques, on aura la série d'équations :
Le poids Q est équilibré par la somme des tensions des cordons compris entre les deux moufles; donc
Ces équations montrent que P et Q sont des fondions linéaires de T^, et par suite, que P est une fonction linéaire de Q. Nous poserons donc
a et P étant; des coefficients qui dépendent des coefficients a et 6 et du nombre n. .
Pour déterminer ces nombres a et p, cherchons d'abord à exprimer P et Q en fonction de T^. .
Retranchons la première équation de la seconde, la seconde de la troisième..., ravant-dernière de la dernière; il viendra la série de relations
les différences T,— r„ T3— T,....,P — T«, sont donc les termes d'une progression géométrique dont la raison est b; faisant la somme de tous ces termes, on aura
l> - T,.= (Tj — Tj) (1 +6 -4- fr* -4- . . . + ^»- *) 6»— 1
— Hic. aOLLGXON. ^^
puis remplaçant T, par sa valeur a 4- 61^, il vient
Pouravoir demêmeQen fonction de T^, observons queTéquation précédente, qui donne P, fait également connaître- T«, T^i,T„îv T,\ en remplaçant successivement n parn-^1, h — 2, .,. 1 . Nous avons ainsi
An — « __ i An — s 1
équations auxquelles on peut joindre l'identité
Additionnant toutes ces équations membre à membre, il vient
T4 + T,-f...-hT„-i + T„=Q
On a donc à la fois
Multiplions la seconde par ^^. ^ , et retranchons; T^ sera éliminé, et nous aurons pour déterminer a et g Téquation
La. relation P=aH- pQ montre que le rendement de la machine augmente avec le poids Q; plus le poids soulevé est grand, moins le terme constant a conserve d'importance, et il devient même complètement négligeable pour une valeur très-grande de Q. Ce terme a représente, pour ainsi dire, les frais généraux d'une entreprise, et le terme PQ, les frais proportionnels. En général, l'importance des frais généraux est d'autant moindre que Tentreprise prend des développements plus étendus.
