II. — XÉC. GOLLIOKOX

(iO CENTRE DES FORCES PARALLÈLES.

parallélisme, et en conservant les rapports de leurs grandeurs. Soient X, Y, Z les coordonnées de ce point. Faisons tourner toutes les forces de manière à les rendre parallèles à Taxe OY, et prenons les moments par rapport à Taxe OX. Les forces se projetteront en vraie grandeur sur le plan YOZ, normal à Taxe des moments, et les distances des forces à cet axe seront égales respectivement a z^ pour la première, à z^^ pour

la seconde, à z^ pour la ?l'^""^ La somme algébrique des

moments est donc égale à

Fi2i-f-F,îs-f F533+...+F„;„.

On sait par le théorème des moments qu'elle est égale au moment de la résultante, c'est-à-dire au produit

iF| + F,+ ...+F„)xZ.

. F<s^ + Fa -,-f ...-f F„î« iVz

Fi-f-Fa+...4-F» 2F

équation que nous avions trouvée (g 54) par une méthode beaucoup moins rapide.

Nous obtiendrions la même équation en rendant les forces parallèles à l'axe OX, et en prenant les moments par rapport à l'axe OY.

L'analogie conduit à poser de même :

^ Fig^-h F^gj 4^ . . . + FnXn lVx Fi + F2-|-...4-F„ ~2F '

Y Ftyt -f Fg^g 4- . . . H- Ynyn ^ SFy Fi4-F,+ ...+F„ SF'

49. L'js forces parallèles F^, Fj,... F„, peuvent recevoir des signes, et par suite leur somme algébrique 2F peut être nulle.

Admettons qu'on ait 2F=0. Si l'on a en même temps 2:Fa;=0, 2Fî/ = 0, ZFz=0, les valeurs de X, Y, Z seront indéterminées. Si, au contraire, quelques-unes des sommes 2Fx, SFî/, l¥z ne sont pas nulles, quelques-unes des valeurs de X, Y, Z sont infinies^

MOMENTS PAtl RAPPORT AUX AXES. 67

Le premier cas indique que les forces F^, F,,.... F„, se font équilibre. Le second, qu'elles se réduisent à un couple, lequel peut d'ailleurs être nul pour certaines orientations des forces F. Ces détails seront développés plus loin (g 72).

50. Cherchons en second lieu les moments par rapport aux trois axes OX, OY, OZ, d'une force donnée F, appliquée en un point M, qui est défini par ses coordonnées rectangulaires x^ j/, z.

Décomposons la force F au point M en ses trois composantes MX, MY, MZ. Le moment de la force F par rapport à un axe quelconque est égal à la somme algébrique des moments de ses composantes.

Occupons-nous d'abord des moments par rapport à OZ. Le moment de la composante Z, qui est parallèle à l'axe, est égal à zéro. Les deux autres composantes se projettent en vraiegrandeur en mX, mY sur le plan XOY, normal à OZ. La distance de la composante m\ à l'axe OZ, ou au point 0, est égale à O[ji.',ou à m\j\ ou enfin k x; la distance de la composante mX au même point est m\i! ou y ; les moments sont donc égaux, aux signes près, à Yx et à Xî/ ; quant aux signes, il faut observer que, si X et t/ sont positifs, comme le suppose la

figure, X tend à faire tourner son point d'application m autour du point 0, dans le sens qui amènerait l'axe OY vers l'axe OX, c'est-à-dire dans le sens négatif; le moment de X est donc égal à —Xi/; l'autre moment est positif, et la somme algébrique des moments est égale à

Y«— Xy..

On démontrerait de même que la somme des moments par rapport à OX est