PARALLÉLOGRAMME
GEFH, EBCF sera en équilibre (§17); l'ensemble des trois parallélogrammes est donc aussi en équilibre, et par suite les quatre forces F^, F,, F^, F^ sont en équilibre, et le Icmme est démontré K On en déduit celte conséquence :
La résultante de deux forces F^, F^, appliquées à un même point A, passe par le sommet C du parallélogramme ABCD construit sur ces deux forces. Car cette résultante fait équilibre à la résultante de deux forces F^, F^, laquelle passe en ce point C.
19. De là il est facile de conclure que la résultante R de deux forces P et Q est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces.
Sur les côtés AB, AD, respectivement proportionnels aux
c forces P et Q, construisons le parallélogramme ABCD. La résultante R des forces P et Q passera par le sommet C de ce parallélogramme; mais nous ^*^' **' ignorons encore quelle est
sa valeur, et si elle est proportionnelle à AC.
Prenons sur le prolongement de AG une longueur AE proportionnelle à la force R, et qui représentera en grandeur et en direction une force — R, égale et opposée. Les forces — R, P et Q se font équilibre. Donc la force — Q, égale et opposée à Q, est la résultante des forces P et ^:R ; et par suite, si on achève le parallélogramme AEHB, construit sur les forces Pet — R, la diagonaleAHde ce second parallélogramme sera dirigée en prolongement du côté AD du premier. Les trois points H, A, D sont donc en ligne droite; les deux triangles EÎIA, CDA,
* n resterait à étendre la démonstration au cas où les forces données sont incommensurables. On peut employer pour cela soit la réduction à l'absurde, soit la théorie des limites. Nous ne nous arrêterons pas à développer ce complé= ment de la démonstration.
Pig. 13.
ont deux côtés égaux, HE = AB = CD, et les deux angles adjacents sont aussi respectivement égaux : HEA=:ACD, AHE==ADC. DoncEA=AG, et par suite la résullante R est représentée, en grandeur comme en direction, parla diagonale AC du parallélogramme ABCD.
20. On peut parvenir par un procédé analytique à la même conclusion. Deux forces égales, F, F', faisant entre elles l'angle FMF'=2a, ont une résultante R dirigée suivant la bissectrice de leur angle; de plus la résultante R est proportionnelle, pour une même valeur de Tangle a, à la valeur commune F des composantes. La loi qui lie les forces F et R est donc exprimable par une relation de la forme
<p désignant une fonction qu'il s'agit de déterminer.
Nous pouvons décomposer la force F en deux forces égales / et f , dont les directions fassent avec MF des angles égaux FMf = FMf = p. De même, nous décomposerons la force F' en deux forces f et /*'", égales entre elles et aux forces /"et/*', suivant les directions Mf', Mf", qui font avec MP des angles égaux à p. Appelant/*la mesure commune des quatre forces /*,/"', f ', /*'", nous aurons, pour la déterminer, l'équation
La composition des forces F et F' revient à la composition des quatre forces f, f, /", f"; or les forces égales fel f ' se composent suivant leur bissectrice MB en une force égale à
et les forces f, f, suivant la même bissectrice, en une force
.-^-:-.ai
ifi COMPOSlîlOy
Donc
ii=/y(«+^)-h/f(«-^)=/'?W?(^).
et la fonclion 9 doit satisfaire à la relation générale
quels que soient les angles a et p.
Nous commencerons par déterminer certaines valeurs de la fonction ç.
1** Si l'on fait a=0, les deux forces F et F' prennent la direction de la force R, et par suite
Donc
2"* Pour a=^, les deux forces F et F' prennent des directions opposées, et leur résultante est nulle. On a donc
3° Faisons ensuite a=^. La force F se décomposera en deux
forces égales fel f, l'une perpendiculaire à la direction de M, et l'autre dans la direction môme de R. Il en est de même de la force F'. 11 en résulte que les forces f et f" s'ajoutent pour donner R, et que par conséquent
tandis que les forces /"et f" se détruisent. On a donc à la fois
R=Fxy("j),
et
Donc
4° Enfin cherchons la valeur de ç ( ^ J .
la force F est décomposable en deux forces / et f, l'une/' dirigée suivant la ligne MR, l'autre f dirigée suivant le prolongement de la force F'. La résultante des forces F et F', ou des forces /*, f\ F', est dirigée suivant MR; or la force f est déjà dirigée suivant MR; la résultante de Pet de /"est une force F' — f, dirigée suivant la ligne fF' ; composée avec f , elle donnerait une résultante qui ne pourrait coïncider avec la direction MR, à moins qu'elle ne soit nulle. Donc /=F'.
On en déduit
pour une valeur de l'angle a égale à ^, et par conséquent
Connaissant ces valeurs, on peut en trouver d'autres au moyen de la relation [1]. Par exemple, faisons p=a, il viendra
puis faisons a=2p, et remplaçons 3 par a :
el ainsi de suite.
^Observons encore que la fonction 9 (a) ne s'annule pour au-
cune valeur de a comprise entre 0 et ^ , et qu'entre ces limites elle décroît à mesure que la variable a augmente, Ao sorle qu'elle reste comprise entre 2 et zéro.
» Ces diverses remarques vont nous conduire à la détermination de la fonction 9.
Dans l'équation [1] faisons a=:np, n étant un entier positif; nous en déduirons
OU bien, en posant d'une manière générale 9 (fcp)=Un, pour toute valeur entière de fc,
ou encore
un + i — Ui Mn + i/n- 1 = 0. (2)
Cette équation montre que la série
Mj î/, lis ... ttn ...
est récurrente; chaque terme se forme en ajoutant les deux précédents, multipliés Tun par le nombre constant m^ l'autre par — 1 . On peut faire précéder le terme u^ du terme u,=9(0) = 2.
Cherchons à exprimer m» en fonction de t/^.
Pour cela, considérons la série
(2) S = j/o -h "!«+"««• + Ms«'-h... +"»«*+...,
et multiplions-la par le trinôme
La lettre x représente une variable auxiliaire, dont la valeur reste indéterminée, et qu'on peut, une fois pour toutes, supposer assez pelite pour assurer la convergence des séries dont on va faire usage.
Le produit se réduit à ses deux premiers termes
«0 +(«1 — Ml Mo) « = 2 — Wi «,
de sorte que la série S s'obtient en effectuant la division
2 — UiX 1 — u^x 4- x^'
Décomposons cette fraction rationnelle en fractions simples. Les facteurs du dénominateur sont
(l'-VÏ-O—
on a donc à déterminer les constantes A el B de manière à satisfaire à ridentité
2~ii^a; A B
i + Vt-*-^ i/-Vt-^-^
Pour cela, il faut qu on ail séparément OU bien
et enfin
b = "V-\/"t-^- Substituons ces valeurs de A et B. Il vient pour la série S,
La division permet de développer chacune de ces traclioi\s ^' simples en une progression géométrique : \
Donc enfin, en comparant à l'équalion (2)^ 1 i
un =
l(^v?=^)(ï-VÏ-')]" =(î-s/ï-')'*(ï-V?^"-
Introduisons une nouvelle variable G, enpos8niM4=2cosô; comme u^=^ pour P = 0, nous pourrons faire en sorte que les arcs 6 et p s'annulent ensemble ; nous pourrons d'ailleurs les regarder tous deux comme positifs. Il résulte de celte relation
t/^-l=2v/=n"sin0,
et par suite
Un = (cos $ + \/^^ si n ô)» 4- (cos 6 — y/^ sin o)» = 2 cos nB,
Si donc on exprime 9 (p) par le double du cosinus d'un certain arc G, (p(np) sera exprimé par le double du cosinus du produit de cet arc par n, et cela quelque grand que soit le multiplicateur n.
l^emplaçons ng par a; nous aurons à la fois les deux équations
(p[a) = 2cos«ô.
Faisons ensuite croître indéfiniment le nombre enlicr w. Lare p deviendra infiniment petit, ainsi que l'arc 6, et nous pourrons posera la limite p=5Ô, s étant la vraie valeur du
rapport ^, quand les deux arcs g et 6 convergent à lo fois vers
zéro.
On en déduit
et
Donc
dans cette équation, s est un nombre constant qui res?c à déterminer, et l'équation est vraie d'une manière générale, puisque l'arc a est un arc fini quelconque.
Pour dét^errainer l'arbitraire 5, faisons a=:^ ; la fonction
doit s'annuler ; donc cos^ = 0; ce qui suppose s égal à l'in
verse, ^r-;-, — ^ , d'un entier impair.
On aurait donc
ç>(a) = 2cOS(2s' + l)a.
Mais alors la fonction 9 s'annulerait pour une valeur de a satisfaisant à l'équation (25'-hl)a=|, etsi Ss'-h 1 était>l,
cette valeur serait comprise entre 0 et ^, ce qui est contradictoire avec la signification particulière que nous attribuons à la fonction 9. Donc enfin 5=1, et la fonction (p(a) est égale à 2cosa.
Cette fonction satisfait à toutes les conditions proposées. Elle
prend la valeur 2 pour a=0, la valeur 0 pour a=^, la valeur y/2 pour a=^, et la valeur 1 pour a==. D'ailleurs on a
f (adb^) = 2cos (aifcp) = 2 (cosa C08|3 qFsin«sinp),
et par suite
?> (a + ^) + y (a — ^) = 4 COS a COS^ = 2 COS a X 2 COS^= ? (a) X ? (^).
On arriverait à la même conclusion en développant les fonctions f((x±^) par la série de Taylor; c'est la méthode que suivaient Poisson, Navier, etc.
La proposition démontrée pour le losange s'étend sans difficulté au parallélogramme, en commençant par le cas particulier du rectangle.
21 . La règle du parallélogramme des forces peut être ensuite généralisée et étendue à la composition de tant de forces qu'on voudra : s'il y a trois forces, elle devient la règle duparallélipipède des forces; s'il y en a plus de trois, la règle du polygone des forces. Là résultante des forces appliquées en un même point est toujours représentée en grandeur et en direction par la résultante géométrique des droites qui représentent les forces données (I, § 49).
CONDITIONS d'équilibre d'uN POINT MATÉRIEL SOLLICITÉ PAR DIVERSES FORCES.
22. Lorsqu'un point matériel, libre dans l'espace, est sollicité par diverses forces, il faut et il suffit, pour que ce point soit en équilibre, que la résultante de toutes les forces données soit nulle^ ou bien que le polygone des forces données se ferme de lui-même.
On peut transformer cette condition. Soit 0 le point matériel, OF une droite finie représentant en grandeur et en direction l'une des forces qui agissent sur ce point. Par le point 0, menons arbitrairement trois axes coordonnés OX, OY, OZ ;
D'UN POIKT LIBRE. 27
nous pourrons considérer la droite OF comme la diagcnale d'un
parallélipipède dont les faces, aboutissant au sommet 0, soient
situées dans les plans XOY, YOZ/ z
ZOX. Il suffit pour cela de mener ^ /
par le point F, parallèlement aux /j Tf
plans coordonnés, trois plans qui \'-\--~::^^y \
couperont les axes en des points \ M^^^^ VZ^^ x"
A , B , C. Nous regarderons la ^- ^'
force OF comme la résultante des V
trois forces OA, OB, OC, agissant ^'^' ^^•
sur le point 0 dans la direction des trois axes coordonnés.
A chaque force F correspondront ainsi sur les axes trois composantes, que nous désignerons d'une manière générale par X, Y, Z ; la composition des forces F se simplifiera en composant d'abord ensemble, par voie d'addition algébrique, toutes les forces qui agissent suivant un même axe ; puis, en dernier lieu, en composant les trois résultantes parlielles par la règle du parallélipipède.
Soient F^, F,, Fg, ... F», les n forces qui agissent sur le point 0. Nous appellerons :
Xj, Yp Z^, les trois composantes de la force F^, prises avec les signes convenables ;
X,, Y„ Z„ les trois composantes de la force F^^ ...;
X„, Y„, Z„, les trois composantes de la force F„.
Les trois composantes de la résultante des n forces données seront respectivement égales aux sommes algébriques
OU, sous forme abrégée,
SX, 2Y, 2Z,
les sommes 2 étant étendues à toutes les composantes des forces données.
Pour que le point soit en équilibre, il faut et il suffit que la
résultante des forces soit nulle, ou que le parallélipipède qui a pour côtés les sommes précédentes ait une diagonale nulle, ce qui exige que ses côtés soient séparément égaux à zéro, Les conditions d^équilibre sont donc au nombre de trois, savoir :
X, + X2+...-hX„=0, Yi + Y,+ ...+Y„ = 0.
OU bien
sz = o.
23. En général, on applique ces équations à des axes rectangulaires, sur lesquels les forces OF se projettent orthogonalement.
Soient OX, OY, OZ, trois axes rectangulaires; la force F fait des angles a, (3, y, avçc ces trois axes. La composante de F suivant Taxe OX sera Fcosa; suivant Taxe OY, Fcosp, et suivant l'axcOZ, Fcosy.
La somme algébrique des composantes de toutes les forces qui soH citent le point 0 sera
suivant l'axe OX, SFcosa,
suivant Taxe OY, SFcosjS,
fit suivant l'axe OZ , SFcosy.
Si Ton définit la direction de la force F par deux angles, la longitude G, angle du plan ZOF avec le plan ZOX, et la colatitude^^ angle de la direction F avec l'axe OZ (I, § 65), on aura
cosa = ccs0sin7, cosj3 = cos6siny,
et les sommes des composantes seront
Fifç 17.
2X=2Fcos6sinv, SY=SFsinôsinv, ZZ=2Fcosy.
Wm POINT LIBRE. 29
L'équilibre s'exprimera en égalant séparément ces trois sonnmes à zéro.
24. En résumé, V équilibre (Vun point matériel dans Fespace exige^ comme condition nécessaire et suffisante, que la somme algébrique des projections^ sur trois axes coordonnés^ des forces qui le sollicitent, soit égale à zéro. S'il en est ainsi pour les projections sur trois axes, on peut affirmer que /a somme des projections des forces faites parallèlement à un plan fixe sur un axe quelconque est aussi nulle. Car cette somme n'est autre chose que la projection sur cet axe de la résultante des forces données, laquelle est nulle dès que ses composantes, parallèles à trois axes non situés dans un même plan, sont nulles toutes trois.
