COMPOSITION DES FORCES CONCOURANTES

14. Nous avons déjà vu (§ 5) que plusieurs forces appliquées en même temps à un même point se composent en une force unique en suivant la même règle que pour la composition des vitesses ou des accélérations. Mais il n'est pas sans importance de faire voir que la démonstration de cette proposition peut être affranchie de toute considération de cinématique*, et qu'elle résulte des principes et des définitions de la statique pure.

15. Nous commencerons par observer que la résultante de deux forces qui font entre elles un angle quelconque est dirigée dans le plan des deux forces ; et que si les deux forces sont égales j leur résultante est dirigée suivant la bissectrice de leur angle.

Un point en repos, sollicité par deux forces à la fois, prend un certain mouvement unique et parfaitement déterminé ; or tout est symétrique par rapport au plan des deux forces, et si le point sprtait de ce plan, il faudrait qu'il choisît entre l'un ou l'autre de deux déplacements symétriques également possibles ;

^ Nous ne disons pas que là démonstration du parallélogramme des forces peut être affranchie de toute considération de mouvement ; nous disons seulement qu'elle peut être affranchie de toute notion de cinématique, parce qu'on peut rétablir sans connaître la mesure des forces par les accélérations qu'elles communiquent à un même point matériel.

un ici choix étant inadmissible, et \ fait du mouvement étant cependant nécessaire, il faut que les deux déplacements également possibles coïncident et n'en fassent qu'un, ce qui les suppose situés dans le plan de symétrie. La résultante des deux forces, qui est égale et contraire à la force capable de Imairiienir le point au repos, est donc dirigée dans ce même plan.

On démontrerait par un raisonnement tout semblable que la résultante de deux forces égales appliquées à un même point est dirigée suivant la bissectrice de leur angle.

16. On peut ajouter que la résultante de deux forces égales qui font un angle constant est proportionnelle à l'intensité commune de ces forces, de sorte que si elles deviennent à la fois doubles, triples,..., la résultante devient en môme lemps double, triple,....

En effet, si les deux forces égales F et F', agissant sur le point M, ont pour résultante la force R, dirigée suivant la bissectrice MR de l'angle FMF', deux nouvelles forcés F et F', égales aux premières, et appliquées au point M suivant les mêmes directions, auront pour résultante une nouvelle force R, dirigée encore suivant MR. Le point M peut donc être considéré comme sollicité par deux forces, l'une égale à 2F, agissant suivant MF, l'autre égale à 2F', agissant suivant MS', et ces deux forces ont pour résultante une force 2R, suivant la bissectrice de l'angle FMF'. En général, si toutes les forces qui sollicitent un point sont augmentées ou diminuées dans un même rapport, sans altération de leurs directions, la résultante varie dans Ce même rapport, et sa direction reste la même. Quand on représente par des droites finies les forces et leur résultante, la même figure les représente encore, après leur altération, par un simple changement d'échelle^

17. Proposons-nous d'établir la règle du parallélogramme des forces pouf le cas où les deux forces F et F' sont dans un

16 œMPOsnioN

rapport quelconque. Nous y parviendrons au moyen des lemmes suivants.

l*" Si les sommets opposés A et C d'un losange ABCD sont réunis l'un à l'autre d'une manière invariable et qu'on applique aux points AetC, suivant les côtés AB, AD, CB, CD, quatre forces égales, F, F', F" et F'", le système des points A et C restera en équilibre.

En effet, la diagonale AC du losange est bissectrice des angles BAD, BCD, que font entre elles les forces dans chaque groupe. Les deux . forces F et F', composées ensemble, ont une résultante R, appli-.

quée en A et dirigée suivant CA. De môme, les forces F" et F"' ont une résultante R', égale à R, appliquée en C et dirigée suivant CA. Les deux forces égales R et R', appliquées aux extrémités de la tige rigide AC, se font équilibre. 2"* Si les sommets A et C d'un parallélogramme ABCD sont réunis invariablement Tun à l'autre et qu'on applique aux p ^ ^ points A et C, suivant les côtés AB, AD, CB, CD, des / / /^ forces F„F„F3,F„propor.

tionnelles aux longueurs de ces côtés, et par suite égales deux à deux, le système des points A et C sera en équilibre.

Supposons d'abord que le côté BC contienne le côté AB un nombre entier de fois, 4 fois par exemple.

On pourra parlager le parallélogramme ABCD en quatre losanges ABEF, FEGH, HGKL, LKCD; imaginons qu'on réunisse les points E, G, K, F, H, L aux points A et C de manière à former un système invariable. Nous pouvons parlager de même les forces égales F, et F^ en quatre parties égales à F^, et supposer ces forces partielles appliquées l'une au point A, l'autre au point F, la troisième au point 11 et la quatrième au point L, pour la force F,; b première au point C, la seconde au

Fig. 9.

point K, la troisième au point C, la quatrième au point E, pour la force F^. Nous pouvons encore, sans troubler Téquilibre, appliquer aux points E et F, suivant le côté FE, deux forces égales et contraires, égales toutes deux à F^; faire de môme aux points G et H, et aux points L et K. En définitive, nous aurons substitué au système primitif des qualre forces ?-^

Fi,F,>F5. F„ le système / ci-contre, qui lui est équi- L — ^ valent au point de vue de pj^ ^^

l'équilibre.

Or chacun des losanges partiels est séparément en équilibre. L'ensemble est donc aussi en équilibre, et par suite les forces F„ F„ F., F„ se font équilibre.

18. Supposons ensuite que les deux côtés du parallélogramme soient entre eux comme deux nombres entiers, m et n. La proposition sera encore vraie.

Nous pouvons en effet partager le parallélogramme en n parallélogrammes égaux, dans chacun desquels le grand côté sera égal à m fois le petit. Supposons que le rapport des côlés soit |, par exemple. Nous pourrons diviser le côlé AB en trois parties égales, aux points Eet G, et menaut les parallèles EF, GH, nous aurons divisé le parallélogramme en trois parallélogrammes égaux, dans chacun desquels le grand côté sera égal à 5 fois le plus petit.

La force F^ qui agit suivant le côté AB peut être partagée en trois forces égales, appliquées respectivement en A, G et E; il en est de même de la force F^, dont on appliquera les parties égales aux points C, F et H. Les points E, G, H, F, étant supposés liés invariablement au sjstème *^" ***

des points A et C, ajoutons en E et en F deux forces égales à F^, agissant l'une de E vers F, Tautre de F vers E. Faisons de même en G et en H. Chacun des parallélogrammes AGHD,