PROBLÈMES DIVERS
70. Étant donné un polygone ABCDEFA, tracé dans un plan, on applique au sommet A, dans la direction AB, une force proportionnelle à AB ; au sommet B, suivant BC, une force pro-
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portionnelle à BC ; au sommet C, suivant CD, une force proportionnelle à CD, et ainsi de suile, jusqu'au sommet F, auquel on applique suivant FA une force proportionnelle à FA. On demande de réduire ces forces à une résultante et à un couple.
On peut choisir l'échelle qui sert à représenter les forces par des droites finies, de telle sorle que AB, BC, .. ., FA soient les longueurs représentatives des forces appliquées suivant ces côtés.
La résultante de translation s'obtiendra en composant les forces données, transportées en un même point, parallèlement à elles-mêmes. Choisissons pour ce point le point A. La résullanle sera le dernier côté du polygone des forces construit à partir du point A ; or ce polygone n'est autre que le polygone donné, lequel se ferme de lui-même. La résultante de translation est donc nulle, et par suite les forces se réduisent à un couple.
Le couple résultant est situé dans le plan de la figure; son axe est perpendiculaire à ce plan. Pour avoir son moment, il suffit de prendre la somme des moments des forces par rapport à un point 0 quelconque du plan. De ce point, abaissons des perpendiculaires 01, 01', ... sur les côtés. Le moment de la force AB par rapport au point 0 est le produit ABxOl, ou le double de Taire du triangle OAB. 11 en serait de même pour tous les autres triangles OBC, OCD, ..., OFA. Faisant la somme de tous ces triangles, on obtient l'aire du polygone. Le moment du couple résultant est donc représenté par le double de la surface du polygone donné.
On parviendrait au même résultat en prenant le point 0 en dehors du polygone ; les triangles extérieurs au polygone devraient êlrepris négativement, et correspondraient à des moments négatifs.
Il résulte de là que si dans le même plan, ou dan3 deux plans parallèles formant un système solide, on applique , suivant
