DES LIAISONS

tuelles des- points matériels, pris deux à deux de toutes les manières possibles, sont constantes.

Certains points du système peuvent glisser sur des surfaces ou des lignes données, ou rester dans une portion définie de Tespace, ou encore conserver des positions fixes. Le système matériel peut se composer de deux parties dont Tune soit assujettie à rouler ou à glisser sur l'autre dans leur mouvement relatif, etc.

Si le système est solide, on peut imaginer qu'il ait un point fixe : chaque point du système sera alors mobile à la surface d'une sphère décrite de ce point comme centre ; ou bien qu'il ait deux points fixes : alors le corps solide pourra seulement tourner autour de la droite qui joint ces deux points; ou encore, qu'il repose sur une surface fixe, avec laquelle il peut avoir un ou plusieurs points communs.

Ces exemples suffisent pour faire comprendre ce qu'on appelle liaison dans la mécanique. Le caractère commun des liaisons qu'on impose à un système est la restriction des mouvements admissibles pour ce système. On dit que les liaisons sont complètes, lorsqu'elles suffisent pour définir les trajectoires de cliaque point, et les rapports des vitesses simultanées des points sur ces trajectoires. Par exemple, un corps solide, assujetti à tourner autour d'un axe fixe, est un système à liaisons complètes; car chaque point est forcé par les liaisons de décrire autour de l'axe fixe une circonférence particulière, et à un instant quelconque, les vitesses des différents points sont enire elles comme leurs distances à l'axe. Une seule équation suffit dans ce cas pour définir le mouvement dn système.

11 ne faut pas oublier d'aillçursque les liaisons peuvent èlre entièrement fictives ; nous verrons même qu'il en est toujours ainsi, et qu'il n'y a en réalité dans la nature que des points libres sollicités par des forces.

76. Les liaisons d'un système tiennent lieu de forces, et l'on peut toujours supprimer la liaison en y substituant les forces convenables. Supposons un système à liaisons

ilO FORClî'S TENANT LIEU

en équilibre. Les forces données qui sollicitent ce système peuvent ne pas être en équilibre par elles-mêmes, c'est-à-dire sur le système supposé libre; pour les tenir en équilibre, ri faudrait introduire de nouvelles forces ; les liaisons qui complètent l'équilibre équivalent à ces forces additionnelles. Par exemple, supposons qu'un point matériel unique M p glisse sur une surface fixe S. Ce point est sol-

licité par une force MF, donnée de grandeur et de position. S'il y a équilibre dans la position particulière où se trouve le point M, on en conclura que la surface S exerce sur le point M une action égale et contraire à MF. Cette force — F sera la réaction de la surface, ou la force tenant lieu de la liaison due à cette surface.

Si un système solide en équilibre a un point fixe, on pourra remplacer de même la fixité du point par une force convenable appliquée en ce point et tenant toutes les autres en équilibre. Outre les forces extérieures et les forces intérieures j que nous avons déjà distinguées (§ 7), il y a donc encore à considérer les forces tenant lieu des liaisons^ si le système matériel dont on étudie l'équilibre n'est pas composé de points libres. Les forces dues aux liaisons peuvent être intérieures ou extérieures. Par exemple, si, dans un système matériel, deux points sont réunis par une tige rigide de longueur constante, les forces tenant lieu de cette liaison seront la tension ou pression de cette tige, appliquée à la fois aux deux points qu'elle réunit; ce sont dans ce cas des forces intérieures mutuelles. Au contraire, lorsqu'un corps solide a deux points fixes^ les forces tenant lieu de ces liaisons sont les réactions des points fixes; ce sont des forces extérieures, au même titre que les forces appliquées aux autres points.

. 77. La force qui tient lieu d'un point fixe est une force appliquée en ce point ; sa direction et son intensité sont inconnues. Lorsqu'un point matériel M est assujetti à glisser sur une surface matérielle fixe S, la force F qui peut remplacer cette liaison, est une force appliquée à ce point maté-

I»£S LIAISONS. ill

rie) ; elle peut se décomposer en deux : Tune, N, normale à la surface, et Tautre, T, dans le plan taàgent. La composante MN s'appelle la réaction normale. La composante MT est le frottement : nous aurons plus tard à en exposer les lois.

On a reconnu par l'expérience que, lorsqu'on fait glisser un corps sur une surface / matérielle, la composante MT de la réaction / " * /* totale est d'autant moindre qu'on a donné U-^^' ^~~~^^ aux surfaces en contact un plus grand Fîg. 71.

degré de poli. Si d'ailleurs la surface S est une surface géométrique, idéale, on doit admettre que cette composante MT est rigoureusement- nulle, ou que la réaction totale MF coïncide avec la réaction normale MN. Une surface géométrique directrice restreint la liberté du point qui la parcourt, en ce qu'il ne peut s'écarter de la surface dans un sens ou dans l'autre, mais elle lui laisse Une entière liberté pour le glissement tangentiel, au moyen duquel il passe d'une position à une autre; cela revient à dire qu'elle ne développe aucune résistance capable de nuire à un tel glissement, en d'autres termes, aucun frottement. Dans cette hypothèse, que l'on fait généralement dans la mécanique rationnelle, la réaction d'une surface sur un point assujetti à la parcourir est normale à la surface. Elle est donc connue d*avance en direction , mais il reste à déterminer sa grandeur et son sens. Observons en outre que si le point est simplement posé d'un côté de la surface, au lieu d'y être complètement lié, c'est-à-dire si la surface n'est qu'une limite de la région de l'espace dans laquelle il peut se mouvoir, la réaction de la surface est ou nulle, ou dirigée vers celte région ; car, en vertu du principe de l'action et de la réaction, les forces qui agissent sur le point matériel supposé en équilibre ont une résultante égale et contraire à la réaction de la surface ; si celle-ci pouvait être dirigée vers la région où le point ne peut pénétrer, la résultante des forces serait dirigée en sens contraire, c'est-à-dire dans le sens

OÙ la surface ne fait pas obstacle à Fentrainement du point.

On traiterait de la même manière le cas où le point matériel est assujetti à glisser sur une ligne. Si Ton admet qu'il n'y ait aucun frottement, et c'est ce qu'on doit faire lorsqu'il s'agit d'une courbe géométrique idéale, la réaction d'une ligne sur le point qui la parcourt est normale à celle ligne; elle n'est donc connue immédiatement ni en intensité, ni en direction, car il y a en un même point d'une ligne une infinité de normales, toutes contenues dans le plan normal ; on sait seulement que la direction cherchée est comprise dans ce plan.

78. On applique souvent en statique la proposition suivante, qu'on peut regarder comme un axiome :

Quaîid un système matériel est en équilibre, on peut, satis troublei' V équilibre, y introduire telles liaisons nouvelles qu'on voudra.

L'introduction de nouvelles liaisons n'a d'autre effet que d'empêcher les mouvements que pourrait prendre le système ; or il est en équilibre par hypothèse , et ne tend pas à se déplacer. Son équilibre est donc assuré a fortiori.

ÉQUILIBRE d'un POINT MATÉRIEL ASSUJETTI A GLISSER SANS FROTTEMENT SUR UNE SURFACE FIXE.

79. Un point matériel. M est assujetti à glisser sans frottement sur une surface fixe S. Ce point est sollicité par une force F, connue en grandeur et en direction pour chaque posilion que le point M peut prendre. On demande quelle position il faul donner au point mobile pour qu'il soit en équilibre.

Dans la position cherchée, il y aura équilibre entre la force F et la réaction R de la surface; la réaction R est par hypothèse normale à la surface, et il faut pour l'équilibre qu'elle soit directement opposée à la force F; donc la posilion cherchée est celle pour laquelle la force F a une direction normale à lu

Fig. 7Î.