Soient

les équations de la ligne L ;

X, Y, Z, les composantes de la force suivant les axes. La condition d'équilibre sera exprimée par l'équation

X</a;H-Ycfi/ + Z£/a; — 0.

On a d'ailleurs, en différentiant les deux équations de la ligne L,

Entre ces trois équations, éliminons les rapports j^ » j- i

l'équation finale sera la condition cherchée.

Cette équation finale s'obtient en égalant à zéro le déterminant du groupe

d^ df df

"dx dy dz

3Sb dy dz .

Car, si ce déterminant n'était pas nul, les quantités dx^ Jy, dz devraient être toutes les trois égales à zéro pour satisfaire à la fois aux trois équations : ce qui est impossible, puisque l'une d'elles doit rester arbitraire.

La condition d'équilibre est donc, en développant le déterminant,

^' \dydz dzdy) \dxdz dzdxj "^ "{dzdy dydx)"'''

Cette équation doit être jointe aux équations (1) de la ligne donnée, ce qui achève en jgénéral de déterminer la position d'équilibre du point.

On pourrait procéder autrement. Multiplions la première des équations (3) par une indéterminée X, la seconde par une autre indéterminée X', et ajoutons l'équation (2) aux équations (3) ainsi préparées; nous pourrons disposer des coefficients indéterminés X et X' de manière à égaler séparément à zéro les coefficients des différentielles dx^ dj/, d%y et nous obtiendrons ainsi les trois équations

dy^ dy'

dz dz

La condition d'équilibre résulte de l'élimination de X et de X'