COMPOSANTE TANGENTIELLE
M' la position du mobile au bout du temps 0 infiniment petit,
v' la vitesse du mobile au bout de ce temps.
Menons la tangente MT, et prenons sur cette droite , à partir du point M et dans le sens du mouvement, une loi), gueur Mm=vô. Joignons mM', et projetons M' en m sur h tangente MT.
La droite mM' est la résultante des deux éléments mm\ mil;
l'accélération totale, égale à la limite du rapport — rj— , est de même la résultante de deux accélérations, l'une tangentielle, égale à la limite du rapport , l'autre normale,
et égale à la limite du rapport — -r-. Proposons-nous d'évaluer les longueurs des éléments mm', m'M'
Menons par le point M, dans le plan osculateur, une droite MS, parallèle à mM', et rapportons le mouvement du mobile aux axes MT, MS; nous savons (g 92) que les équations du mouvement, aux infiniment petits près du troisième ordre, seront
X = vt,
Changeons Taxe des.*/, et prenons pour nouvel axe la normale MR, qui n'est autre que la normale principale. Soit ji. l'angle SMT de l'accélération totale avec la direction du mouvement , et appelons x' et y' les nouvelles coordonnées : le changement d'axe substitue l'abscisse Mm' à l'abscisse Mm, et l'ordonnée normale, M'm', à l'ordonnée oblique M'ro : cela revient à poser
et par conséquent
xf= x -f- y cos fi9 yf = ysin/i,
jfssrl+f/jicosjtK,
COMPOSANTE KORMÀLB 133
La vitesse du mobile au bout du temps î a pour composantes, suivant les nouveaux axes,
dx*
Appliquons ces équations au passage du mobile au point
As!
M', en remplaçant* par 0, ou par ai; -j- est alors la projection
orthogonale de la vitesse v' sur la tangente MT, et ~ la
même projection sur la normale principale MR. Soit donc dw Y angle de contingence de la courbe, c'est-à-dire l'angle infiniment petit formé par la tangente MT avec la tangente MT ; nous aurons
dsf
— = tK COS <hit
dv'
•4r = V sin d<a9
ou bien, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au second,
dx*
-5- = v'doè = vd&%
on a donc
9 + dv = v -+■ j cos 11 dt, 9dta = j sin fidt,
et enfin
dv
g^=;COS/tf
de* . .
9 dï ~ J SU1 **•
L'accélération totale, j, a donc pour composante tangentieïle
134 ACCÉLÉRATION TÀNGENTIELLB.
-7-, et pour composante normale v -y. , celle-ci étant dirigée
suivant la normale principale.
96. En divisant Tune par l'autre ces deux équations, on élimine à la fois dt et;, et il vient
do do»
v tang/x
Cette équation s'intègre ; l'intégrale peut se mettre sous la forme
°r0 J laug
les logarithmes étant pris dans le système népérien dont la base est e ; ou encore sous la forme exponentielle
dot
= VqpJ
Elle conduit donc à exprimer par une fonction de quantités angulaires le rapport des vitesses d'un point mobile en deux points de sa trajectoire.
La composante langentielle de l'accélération, -7-, est la ri-
tesse de la vitesse; c'est ce que nous avons appelé dans le premier livre l'accélération langentielle (§ 31). La composante normale prend le nom $ accélération centripète, parce qu'elle est dirigée vers le centre de courbure de la trajectoire. L'expression -T- peut se transformer. On a, en effet, en appelant p le rayon de courbure de la trajectoire au point M,
pdu = ds = vdt,
donc
et
dût v
dt"}'
vdoè t>*
dt "" p'
