DÉMONSTRATION DU MÊME THÉORÈME PAR LA CONSIDÉRATION DES VITESSES

97. Soient toujours M, M', deux positions successives infiniment voisines du mobile sur sa trajectoire AB.

Pour trouver l'accélération totale, nous savons qu'il suffit de mener par un point C de l'espace deux droites CD, CE, égales et parallèles aux vitesses Mt;,MV, du mobile aux pointsM

DE et M', et de prendre le rapport — de Fig. 87.

la vitesse acquise élémentaire, laquelle est représentée par le

153 DÉCOMPOSITION DE L'ACCÉLÉRATI05.

côté DE dn triangle CDE, au temps 0 que le mobile met à

aller de M en M'.

Nous pouvons décomposer la vitesse DE en deux vitesses

simultanées, DF, FE, en projetant le point E sur la direction

DE CF ; l'accélération — se décomposera de même en deux accé-

DF lérations, Tune —, parallèle à la tangente à la trajectoire au

FE point M, et l'autre —, normale à cette tangente, et dirigée

parallèlement au plan oscillateur qui contient à la fois les

deux tangentes Mv, MV.

L'angle ECF est Y angle de contingence de Fard MM' ; il est

infiniment petit, et par suite CF diffère infiniment peu de CE.

CE La limite du rapport ^ est l'unité, et Ton peut poser

DF = CF— CD = CE — CD = t>' — v.

Donc

DF __ t^ — v (h

0 —~ ~ ~" dïf

valeur déjà trouvée de l'accélération langenliclle.

D'un autre côté, EF se confond à la limite avec l'arc de cercle EF' décrit du point C comme centre avec CE pour rayon; appelons dw l'angle de contingence ECF exprimé en parties du rayon. Nous aurons

EF=CEx</w = r'rfw.

L'accélération centripète, —, est donc égale à — — .

Mais le rayon de courbure p de la courbe au point M, multiplié par l'angle de contingence du, donne la longueur de l'arc MM'. Donc

. arc MM'

Qui = •

INDICATRICE DES ACCELERATIONS.

Enfin Tare MM' est a la limite égal à vO. Substituons ces valeurs de u> et de MM' : il vient

tfdui vif

quantité qui doit être prise à la limite, c'est-à-dire à l'instant où v' devient égal à v; elle se réduit alors à

comme nous l'avions trouvé par une autre méthode.