DÉTERMINATION DU RATON DE COURBURE DE CERTAINES COURBES
101. Il résulte des théorèmes précédents un moyen de déterminer la grandeur et la direction du rayon de courbure d'une courbe donnée dans l'espace, en un point quelconque M de celte courbe.
Supposons, en effet, que Ton fasse parcourir celte courbe par un mobile animé d'une vitesse constantes. L'accélération totale se réduit
alors à l'accélération centripète — **
Connaissant la loi du mouvement c
du point mobile sur la courbe AB, / Ml
nous pouvons en déduire la loi des /"■
mouvements de ses projections Mt, T
Mt, Ms, sur les trois axes OX, OY, OZ.
Des courbes des espaces décrits en projection sur ces trois
axes, nous déduirons les courbes des vitesses ; de celles-ci,
les courbes des accélérations. Nous connaîtrons donc, au
moment du passage en M, les valeurs des trois accélérations
j*» j»> ja» qui doivent se composer pour donner l'accélération
v1 totale — . La diagonale du parallélépipède conslruit sur ces
trois accélérations sera la direction cherchée de la normale
principale ; la longueur de cette diagonale sera égale à —, et
nous aurons le rayon de courbure p en divisant v* par cette longueur.
Prenons pour exemple une hélice AB (fig. 93), tracée à la surface d'un cylindre ACC'A', qui a pour axe la droite OZ, et dont la base dans le plan XOY, normal à 0Z,est un cercle AC décrit du point 0 comme centre. L'hélice fait en tous ses points le même angle avec Taxe OZ ; par suite, le mouvement uniforme d'un mobile parcourant l'hélice a pour projection sur OZ un mou-
1M IUÏOK DE COURBURE DE L'IIRLICË.
veinent uniforme, dont l'accélération est nulle. Nous aurons donc;,:— -0. Quant aux accélérations j„ ;r elles se composeront en une seule, qui sera l'accélération du mouvement circulaire du point H', projection de H sur le plan XOY. Ce mouvement circulaire esl aussi uniforme ; si l'on appelle v' la vitesse constante de M' sur le cercle AC, l'accélération , j, de ce mouvement sera
dirigée de M' vers 0,-et sera égale à -rr*
It étant le rayon du cercle (g 93). Nous "° °" avons ainsi àcomposcrau point Mune ac-
célération égale à -y-, et dirigée suivant la droite MI parallèle à M'O, avec une accélération j„ qui est nulle. La résultante est l'accéléra lion „-- elle-même, dirigée suivant la droite Ml.
La normale principale à l'hélice au point M est donc la perpendiculaire MI abaissée de ce point sur l'axe OZ de la courbe. La longueur du rayon de courbure se déduira de l'égalité
,=Rx(ï)*.
Or -, est le rapport constant entre la longueur AM d'un arc
d'hélice, et la longueur AM' do l'arc de cercle qui forme sa projection. Soit ç l'angle de l'hélice avec le plan XOY; nous aurons
XODYEHEHr ELLirTIQIE.
en appclanl h le pas de l'hùlice. Donc
OWÏ
rnojEcnos outhogosalg MB on r-LAN quelconque k un mouvement
CjnCULAHIE UMFORUE.
102. La projection orthogonale d'un cercle sur un plan oblique par rapport à bon plan est une ellipse, dont le grand axe est égal au diamètre du cercle, et dont le petit axe est égal au produit du diamètre par !c cosinus de l'angle des deux plans.
Soit (fig. 94 et 95) ABA'LV une ellipse, dont le grand axe est AA', et le petit axe 1IB'; soilO le centre delà courbe. Celle ellipse peut être considérée comme la projection orthogonale, sur le plan de la figure, d'un cercle décrit sur AA' comme diamètre dans un plan incline tel, que le rayon OU mené dans ce plan perpendiculairement à AA' ait pour projection le demi petit axe OB.
Supposons (tig. 95) qu'un mobile M parcoure avec une vitesM constante u la circonférence de ce cercle. L'accélération totale du mouvement de ce point est dirigée de M versO, et est
égale à — , a étant le rayon du cercle, c'est-à-dire le demi
grand axe OA de l'ellipse.
La projection de l'accélération totale sur le plan do l'ellipse sera l'accélération totale du mouvement de la projection H' du mobile M; elle sera donc dirigée de M' vers 0, suivant la droite M'O, projection de MO.
Les aires décrites dans le plan du ■cercle par le rayon vecteur MO ont pour projection sur le plan de l'ellipse Jes aires décrites par le rayon M'O, Or le rapport delà projection orthogonale d'une aire plane à celle aire ne dépend que de l'angle
du plan de la première aire avec le plan de projection, et, par
suite, les aires décrites par le rayon H'O dans le plan de Tel* lipsc sont proportionnelles aux aires décrites par le rayon MO dans le plan du cercle ; ces dernières aires croissent proportionnellement au temps, puisque la vitesse du mouvement fiiTïb." " circulaire est constante. Donc lesaires décrites par le rayon M'O dans le plan
de l'ellipse croissent aussi proportionnellement au temps; en
d'autres termes, la vitesse aréolaire du point M' autour du
centre 0 de l'ellipse est constante.
Nous verrons tout à l'heure qu'il en est de même toutes les
fois que l'accélération totale passe constamment par un point
fixeO.
Enfin, l'accélération totale du point M' est proportionnelle à
la distance M'O.
Pour le démonlrcr, considérons l'accélération totale — du
mouvement circulaire; cîleest dirigée de M vers 0. Nous pouvons l'exprimer aussi par m'a, en désignant par w la vitesse angulaire constante du rayon mobile OM. i< 'accélération du mouvement projeté est la projection de celte accélération sur le plnn de l'ellipse; elle a donc pour mesure u'flcosM0M' = iu'X M'O, cl est par suite proportionnelle à la distance M'O.
105. Si on la décompose suivant les axes, on trouvera suivant l'axe OA une accélération composante égale à w' xmO, et suivant l'axe OU une accélération composante égale à w' x n'O ; ces deux accélérai ions sont dirigées vers le centre 0 de l'ellipse, de sorte que si on appelle x et y les coordonnées Dm, niM' du point M', rapportées aux axes de la courbe, le mouvement du point M' satisfait aux équations:
ELLIPTIQUE. Ul
Réciproquement, de ces deux équations on peut conclure que le mouvement du point (x,y) s'effectue sur une ellipse: Elles s'intègrent, en effel, chacune séparément, et donnent/ en appelant A, B, A', B' des constantes arbitraires,
* = A sin U -h B cos «/, y = A'sin tJ -h B' cos ut;
éliminons t entre ces deux équations ; nous aurons pour l'équation de la trajectoire,
(B'x — %)*-+- (Ay — À'*)«= (AD* — BA'i»,
équation qui représente une ellipse ayant pour centre le point 0, sauf le cas particulier où AB' = BA'; car alors l'équation représente une droite passant par ce point.
Rayon de courbure de l'ellipse.
104. Nous venons de démontrer que l'accélération totale du point M' est dirigée vers le point fixe 0 et qu'elle est proportionnelle à la distance M'O, qu'enfin les aires décrites par le rayon vecteur OM'sont proportionnelles au temps.
Soit <ù la vitesse angulaire constante du rayon OM dans le cercle ADA\ qui a pour projection l'ellipse ABA'; l'accélération totale du mouvement projeté sera égale à u>» x OM'. On peut déterminer le nombre constant ai. En effet, a) étant l'angle décrit dans l'unité de temps par le rayon OM, si Ton appelle T la durée du parcours entier
du cercle, w xT sera égal à 2* et, par suite, o> = -^ ; l'accélé-
ration totale s'exprime donc par -^xOM'.
' Si. ou la projette sur la normale à l'ellipse au point M', on
Fi£. 96.
1 18 fUYOH DE COURBURB
aura la composante centripète de cette accélération, c'est-à-dire -, en appelant v la vitesse du point M', et p le rayon de courbure de l'ellipse.
Pour évaluer la vitesse f, abaissons du point 0 sur la tangente MT une perpendiculaire OT.
Le produit =tx OT sera l'aire décrite dans l'unité de temps
par le rayon vecteur OM' ; or, dans le temps T, le rayon vecteur décrit la surface de l'ellipse entière, r.ab. Donc
j»XOTxT = „(i6,
et par suite
L'accélération centripète a pour valeur
T'x.(uïyxp'
et celte quantité doit être égale à la projection sur une perpen-
diculairc à M'T de l'accélération totale, -s^-x OM'. Mais OT,
perpendiculaire à la tangcnlc, est la projection de OM' sur celte direction ; donc enfin l'accélération normale est égale à
■=pX0T, et l'on a l'équation
4~* d'où l'on tire, en supprimant le facteur ■=-,
Celte équation fait connaître le rayon de courbure p t
