FP

ou bien

/ fp \» &«

FP Le rapport ^ est le cosinus de l'angle a que le rayon FM'

fait avec la droite FP, ou avec la normale M'C. L'équation précédente revient donc à celle-ci :

pCOSsa= — .

Soit C le centre de courbure. Du point C, abaissons une perpendiculaire CR sur M'F; du pied R de cette perpendiculaire»» abaissons-en une autre, RR', sur M'C, et, enfin, du pied R' d^ cette seconde perpendiculaire, abaissons -en une troisième^ R;R", sur M'F. Nous aurons les relations :

M'R = M'C COS a = p COS a, M'R' == M'R cos a = p cos* a ,

M'R" = M'R' cos a = p cos5 a = — .

Donc la longueur M'R" est constante, et égale à — , paramètre de l'ellipse.

Celle remarque donne une construction très simple du rayon de courbure en un point M' de l'ellipse.

Menons la normale M'N et joignons le point M'a l'un, F, des

foyers. Sur la droite M'F, prenons une longueur M'R" égale à

b* la quantité constante -; élevons R"R' perpendiculaire à M'F,

qui rencontre M'N en R'; puis R'R, perpendiculaire à M'N, qui rencontre la direction de M'F en R; enfin RC, perpendiculaire à M'F, qui rencontre M'N en C. Le point C sera le centre de courbure et M'C le rayon de courbure de la courbe au point M\