DE L'ELLIPSE

Des mômes équations on déduit

■ = cos1 a = — .

M' G5 Fa

ou bien

106. La construction indiquée pour trouver le rayon de courbure de l'ellipse conduit d'abord à déterminer un point R', en élevant au point R" une perpendiculaire sur la direction FM'. On peut démontrer par la géométrie élémentaire que ce point R' appartient à la direction du grand axe de l'ellipse, ou, ce qui revient au même, on peut prouver que la projection M'R", sur la droite M'F, de la portion M'R' de la normale comprise entre le point M' et le grand axe AA' est constante et

égale à la quantité—.

Rappelons que la demi-dislance, c, des foyers F, F', est donnée par l'équation

Des points F et F' abaissons sur la tangente M'S des perpendiculaires FP, FF.

Fig. 97.

Les triangles M'R'R", MTP, MTT', sont semblables comme

étant rectangles en U", P, P', et ayant des angles égaux en M', F et F'. Nous avons donc la série d'égalités

M'R* FP r?' FP + F'P' FP+F'F {' ÏÏK' ~~ M'F ~ M'F' ~~ M'F + M'F ~~ %a

Mais les trois triangles SFP, SR'M', SF'F, sont aussi semblables et donnent les proportions

FP FS . M'U'^RV W ^F'P'^FS

Môî'^ïfs' Ajoutons ces deux équations :

FP -+• F'P' FS+ F'S 2 OS M'R' ~~ tt'S "" K'S '

Remplaçons, dans la première équation, FP -+- FF par sa valeur* tirée de la dernière ; il vient, en résolvant par rapport à M'RV

w h'Sxa •

Mais l'angle R'M'S étant droit, le point M' appartient à 1m. circonférence décrite sur R'S comme diamètre ; de ce points abaissons sur l'axe de l'ellipse une perpendiculaire Ml ; aurons l'équation

Donc

Observons de plus que le point R' est, dans ce triangle MTFle pied de la bissectrice de l'angle F'M'F ; le point S est d même le pied de la bissectrice de l'angle extérieur au môm triangle, ce qui fournit les proportions