POLAIRES

107. Supposons que le mouvement d'un point M s'accomplisse dans un plan, et qu'il soit rapporté à des coordonnées polaires, OM=r, et angle MOA = 0. Les deux coordonnées sont exprimées en fonction du temps t. On demande l'accélération totale du mouvement de ce point. Du point M, abaissons une perpendiculaire MP sur Taxe OA, et rapportons le point aux coordonnées rectangles

OP = x = r cos 0, PM = y= r sin 0.

L'accélération totale a pour projection sur Taxe fixe OA la

dlx quantité ^=-7-1- ; projetée sur Taxe fixe OB, perpendiculaire à

Fig. 98.

OA, elle a pour projection J9 = -jtï • Nous allons exprimer ces

deux accélérations en fonction des coordonnées r et 0.

Pour cela nous prendrons les secondes dérivées des et de y par rapport au temps t. Il vient successivement :

dx dr . n dO

"=di=7tcos9-rsin0Tr

dy àr . . . nd9

»* = T,= -r-SinO + r cos 0-

dt dt

d*x d*r . 0dr .d6 . #6 /dù\*

^=^ = ^-cos0-2Ssinôd7-rs,nOsr-rcos0(sJ'

d*y d*r . A , adr A de nd*B , /dB\*

^=^=^sm0+2scosOs+rws^-"rsin0(s)<

Au lieu de décomposer l'accélération totale parallèlement aux directions fixes OA, OB, nous pouvons la décomposer sui-

cen-

ts COORDONNÉES POLAIRES. 155

vant la direction OM et une direction perpendiculaire, MN. Nous aurons pour la composante suivant le rayon vecteur,

..... d*r /dey /R = ;*cosO-f;»smô=-^ï - r ^ J ,

et, pour la composante perpendiculaire au rayon vecteur,

• • * Q dr de . d*B ;B=;,co6e-;,sinô = 2s #+' -&**

d*r rf*0 On trouve dans ces formules les termes -7^, r-nv, et

dr ' dr

— r\Tt ) ^u* ^présentent, le premier Y accélération de glissement du point le long du rayon ; le second, l'accélération tan- (jeiitielle dans le mouvement de circulation du point M autour

du point 0; le troisième enfin» — r("ï7 ) > V accélération tripète dans ce môme mouvement de circulation (§ 93). Un quatrième terme, 2^- t-, représente une accélération complémentaire; elle résulte de la rotation des directions suivant lesquelles on décompose l'accélération totale. Nous retrouverons ces formules, quand nous donnerons la théorie générale de l'accélération dans le mouvement relatif.

108. Supposons, en second lieu, que le mouvement du point s'accomplisse dans l'espace, et soit rapporté aux coordonnées r, 0 et 9, définies au § 65.

Passant aux coordonnées rectangles , nous avons

x = r sin 0 cos ?, y = r sin 0 sin y, 2 = r cos 0 ;

et prenant les dérivées par rapport au temps,

dx dr . . , . de . . . dp

tt = gr sin $ cos ? ■+• r cos B cos y -r — r sm 0 sin f -f ,

jf = jrsinfsin? + r cos0 sin y j- + rsin0 cos^tJ ,

dz dr . . Acf0

ff-a«>M-r«ii»fi;