THÉORÈME DES AIRES

de telle sorte que le rayon vecteur mené à chaque instant du mobile H à un point fixe 0, pris dans ce plan, décrive en temps égaux des aires égales; cela posé, l'accélération totale du point M est à chaque instant dirigée suivant la droite MO, dans un sens on dans Vautre.

Cette proposition ayant une grande importance dans la mécanique, nous en donnerons plusieurs démonstrations.

Première démonstration. — Rapportons le mouvement du point M à des coordonnées polaires en prenant le point 0 comme pôle; dans un temps infiniment pelit dt, le rayon vecteur MO décrit autour du point 0 une aire élémentaire MOM', qui a pour mesure -j r*db, à des infiniment petits d'ordre supérieur ° Â"

près; la proportionnalité des aires dé- Flg- 0J'

cri tes aux temps employés à les décrire entraine donc la relation

A étant un coefficient constant qui représente Taire décrite par le rayon vecteur dans l'unité de temps. Dilférentions cette équation en traitant dt comme une constante, il viendra

ou bien, en supprimant le facteur r et en divisant par £</(',

drdO , r</*0 o

Or le premier membre de celte équation n'est autre chose que la composante de l'accélération totale projetée sur une perpendiculaire MN au rayon vecteur OM (g 107). Celte composante est nulle, et, par suite, l'accélération totale esl dirigée suivant le rayon vecteur.

Elle a par conséquent pour valeur

Jss*T-r(2Y ; dt* \dt) »

et comme

de 24 dt~-p9

d*r dt*

on a aussi

L'accélération totale peut donc s'exprimer dans ce cas en

fonction du rayon vecteur et de l'accélération de glissement.