DES AIRES. 1M
que la vitesse aréolaire du rayon OM est constante (g 55), et le théorème est démontré.
1 11 . Troisième démonstration. — On peut déduire la démonstration du théorème ou plutôt de sa réciproque, de l'équation du g 96 :
dv do»
~v ~~ tang"jr
Soient M, M', deux positions successives infiniment Voisines du mobile; menons les rayons OM, OM', et les tangentes MT, MT'à la trajectoire. Soit I leur point d'intersection. L'angle jjl est Pangle de la direction du mouvement avec la direction de l'accélération totale, c'est-à-dire avec MO; jÀ-hf/jÀ sera l'angle de la tangente MT avec le c rayon M'O ; l'angle T'IT est l'angle de contingence, du. Exprimons que la somme des angles du quadrilatère OMIM' est égale à 4 droits : il viendra
Fig. 101.
dO -f- p -f (tt — /* — dp) -+• (tc — du) = 2* .
On en déduit
et par suite
Mais
et
l'équation devient
do> = dO — d/x ,
dv
dO
v tang f* tang p
rd$ tang/x=— -^-,
dO
dr
tangj*
do . dv
dp
v r tang /a
ICO
Intégrons :
vr sin /a = constante.
Or tfXrsiniAXd* est le double de Taire décrite dans le
temps dt par le rayon vecteur mené du point 0 au mobile, car c'est le produit de l'arc parcouru vdty par la distance, r sin[A=OPf du pôle à la direction de cet arc.
Si l'accélération totale avait été dirigée suivant le prolongement de OM, la trajectoire aurait tourné sa convexité du côté du pôle, et Ton aurait eu
Fig. 102.
</0-M/* + tf/*)-Hrc + d«)+ltt— /*)=2»,
ou bien
du=dp — dQ;
mais en même temps
ta»SM = +-^:
rde tir'
Le résultat final aurait donc été le même.
112. Démonstration géométrique. — Nous commencerons par établir un lemme préliminaire.
Étant donnés un cercle OB et un point 0 pris sur ce cercle, on mène par le point 0 une sécante quelconque OE qui coupe le cercle en un second point C ; puis on détermine sur cette sécante un point E tel, que Ton ait
OCxOE=K»,
K étant une longueur constante. Le lieu des points E ainû déterminé est une droite perpendiculaire au diamètre OB passant par le point 0 et le centre du cercle.
Prenons en effet sur la direction du diamètre OB un point D tel que OB x 0D= K*. Le point D sera un point du lieu. Joignons
Fig. 103.
