THÉORÈMES GÉNÉRAUX
On parvient directement à ce théorème en intégrant l'équation différentielle
dv
-jt =j cos j*.
2° Les triangles Omtm0, Omtm/t On^m,,... donnent succ^ sivement :
*î = »î -f-7o °* H-2rojo0 cos po , »* = t>« +;1 6» -f Spjjecos/ij , vl = »* 4-;?^ 4- 2tVf0cos/u^,
t>« == vl + ;ï 0* + 2» ,/, 0 cos /*„.
Ajoutant ces équations membre à membre, il vient, en supprimant les termes qui se détruisent,
Or ô étant infiniment petit , les termes j'ô1 sont des infiniment petits du second ordre, dont la somme est rigoureusement nulle ; d'un autre côté, vO est Tare ds décrit sur la trajectoire; changeant la notation, nous arrivons à l'équation
»* — *S=2 / jcospXds.
Donc V accroissement du carré de la vitesse du mobile en passant d'une position M à une position M' sur sa trajectoire est égal au double de l'intégrale, prise entre ces deux positions , du produit de V accélération tangentielle par V élément d'arc parcouru.
On démontrerait directement ce théorème, en partant de l'équation
dv
M=JCOSp,
ds et en remplaçant dt par — ; il vient en effet
rdv
ÏU =J cos /*,
ou bien
vdv = j cos /* ds
SUR L'ACCÉLÉRATUM TOTALE.
5* Projetons sur un axe fixe le polygone Om„m'0.
Le coté Om', pris dans le sens Om', est la résultante géométrique des cotés Om,, m,mt, fli(ms)... m„m'; la projection sur l'axe du côté Om' est donc égale à la somme algébrique des projections de tous les autres côtés; appelons o0, a,, a,,... a„, les angles des côtés m^,, m,»!,,... mnm' avec l'axe de projection ; et représentons par i'„ vtu les projections sur le même axe des côtés Oms, Om', qui représentent les vitesses du mobile. Nous aurons
ou encore, en représentant par l'indice x la projection sur l'axe,
Donc l' accroissement entre deux époques de la vitesse du mobile projetée sur un axe fixe est égal à l'intégrale, entre les mêmes époques, du produit de l'accélération projetée sur le même axe par l'élément du temps.
La démonstration directe se déduirait de la relation
qui donne, en intégrant,
4" A ces trois théorèmes, il faut joindre celui que nous avons démontré g 96, et qui consiste dans la relation dîllérentielle
uns/.
174 THÉORÈMES GÉ5ÊRAUX
ou dans l'équation intégrale
»= vQe
du
lang/i
l'intégrale élan t prise sur la trajectoire entre les positions H^ M, où la vitesse est v0 et v.
Nous retrouverons ces théorèmes dans la dynamique, atrec une autre interprétation.
118. Nous avons supposé que l'indicatrice des accélérations totales était une courbe continue ; il est facile de voir que les quatre théorèmes démontrés subsistent encore lors*
que l'indicatrice a des points anguleux , ce qui n'empêche pas les vitesses du mobile sur sa trajectoire de varier d'une manière continue en direction et en grandeur.
Mais si la trajectoire ABC avait elle-même un point anguleux B, ou si la vitesse du mobile variait brusquement de grandeur, l'indicatrice cesserait d'être une courbe continue; elle se composerait d'une branche ab, correspondante à la portion AB de la trajectoire, et d'une branche fc'c, qui correspondrait à la portion BC. Les théorèmes s'appliquent alors séparément aux portions AB, BC ; prenons pour exemple le second théorème : il donne pour la partie AB
et pour la partie BC
v\ — vl = 2 / j cos /* ds.
Jv
Les vitesses \\ et \\ sont égales et parallèles aux rayons vec- — teurs Ob, Ofr', de l'indicatrice ; joignons bb'\ le triangle Obbr -»
SUa L'ACCÉLÉRATION TOTALE. 175
dans lequel le côté W représente une vitesse u, qui, composée avec vt, a pour résultante la vitesse vt> nous donne
et par suite
= 2 / y cos^tfo-t-"*— 2v|ficos(tf, »,)•
La discontinuité des vitesses introduit donc dans l'équation deux termes correctifs. On verra dans la dynamique quelle interprétation on peut leur donner. Rappelons-nous du reste, qu'en toute rigueur les points anguleux des trajectoires et les variations brusques de vitesse sont inadmissibles dans le mouvement d'un point matériel (g 21).
