DÉTERMINATION DE LÀ TRAJECTOIRE

et par suite

'~ 6» XFMxFM''

quantité à prendre à la limite, quand MM' devient infiniment petit. Donc enfin

J~ * FM,""^;rXrt,

on encore

/ — jt X ri9

en observant que

121. Proposons-nous de résoudre d'une manière générale le problème suivant:

Sachant que l'accélération totale ; d'un point mobile M est constamment dirigée* vers un centre fixe 0, et qu'elle est exprimée par une fonction, f(r), de la distance MO, trouver la trajectoire et la loi du mouvement.

Nous avons déjà résolu (§ 103)* un cas particulier de ce problème, celui où la fonction f(r) est proportionnelle à la dislance r. Dans ce cas, l'emploi <ks projections sur deux axes rectangulaires conduit très rapidement a la solution, parce que les équations du mouvement s'intègrent séparément.

Q n'en est pas de même quand la fonction f (r) est plus compliquée. On Peut alors suivre une des méthodes que nous allons indiquer.

1* L'accélération étant toujours dirigée suivant le rayon MO, la vitesse Claire est constante ; représentons- la par A, quantité constante qu'on déterminera plus tard. Nous aurons l'équation en coordonnées polaires

k Plus (§ 109)

i r«d0 = kdt.

.rf«r 4A«.

cette équation suppose que Ton compte positivement l'accélération dans le *os centrifuge OM, et négativement dans le sens centripète MO.

Remplaçons,; par la fonction donnée f (r) ; nous aurons, pour lier les va- ™ta r et t, l'équation différentielle du second ordre : ♦

180 DÉTERM1XATI09

Cette équation s'intègre en multipliant pai 2 -g cille premier membre et le second par Ur; il Tient, en désignant par C une constante,

et par suite

Le radical doit être pris avec le signe -f- si dr est positif, avec le signe— si! est négatif, de manière que dt soit toujours positif. Intégrant une seconde fois, et appelant G' une seconde constante, oni

^c+ffvw *+*£=)

Cette équation fait connaître t en fonction de r ; on obtient ensuite l'équation de la trajectoire en remplaçant dt par sa valeur en r dans l'équation des aires; ce qui donne

m 2A<fr

de =

irVc+/(2'(r)*+i!^)

équation qui s'intègre encore par une quadrature. 2' On peut aussi se servir de l'équation démontrée dans le § 117 :

v* — r0* = 2 f j cos.u ds ;

u. étant l'angle fait par l'accélération avec la direction du mouvement, on a ds cosp. = dr, et par suite j cos y. ds = f (r) dr. La quantité r. est une

constante, et l'équation précédente, dans laquelle / f (r)dr est une nouvelle fonction F, prend la forme

h représente une constante arbitraire.

Mais

Donc

L'équation des aires

v "dt*"

dr*+r*dù* dt* '

dr* + r*dQ*

Ir*d0 = kdt