DÉFINITION

viennent ('gaiement au point M', symétrique de M par rapport au plan ABC. La position relative des n points sera donc entièrement définie, sauf celle ambiguïté, si Ton donne: lMes trois distances AB, BC, AC, ou les trois côtés du triangle ABC; 2° les trois distances à A, à B et à C, des n — 3 autres points. Le nombre des données nécessaires pour définir la forme d'un système de n points est donc égal à

ou bien à on — 6.

123. Cherchons ensuite le nombre de conditions nécessaires pour définir la position d'un système invariable dans l'espace.

Prenons encore trois points A, B, C, du système, non en ligne droite : la position du système sera entièrement définie, dès que les trois points A, B et C seront connus de position.

On peut rapporter la position de ces points à trois plans rectangulaires XOY, YOZ, ZOX ; soient, par exemple, a, fc, c les projections des trois points sur l'un, XOY, des plans coordonnés. La position du premier point A sera connue par les trois coordonnées x, y, % de ce point. La position du second, B, n'est plus alors entièrement arbitraire; car, la distance AB étant donnée, le point B se trouve sur une sphère décrite du point A comme centre, avec cette dislance AB pour rayon. Il suffira donc de donner deux des coordonnées du second point B, par exemple xi et i/p qui définissent la position du point b dans le plan XOY; la troisième coordonnée %t du point B s'en déduira en cherchant l'intersection de la sphère avec la droite menée par le point b parallèlement ù OZ. Cette droite coupe la sphère en deui points, et le point B cherché est l'un ou l'autre de ces points. Les conditions particulières de la question que Ton traite indiqueront celle des deux solutions qu'on doit adopter.

Fig. 119-

DES SYSTÈHLS INVARIABLES. U5

Ce choix fait, le troisième point C, dont les distances CA, CB, à deux points fixes sont connues, est assujetti à se trouver sur une circonférence de cercle qui a son centre sur la droite AB, et, par suite, il n'y a qu'une coordonnée à fixer pour que la position de ce point soit connue. Si l'on donne la coordonnée xty par exemple, le point C sera à l'intersection de cette circonférence avec le plan mené parallèlement à ÏOZ, à une distance xt de l'origine. Il y aura encore ici généralement deux solutions.

En résumé, la position du système est déterminée si l'on fait connaître :

Les trois coordonnées, x, t/, z, du point A,

Deux des coordonnées, xp t/lt du point B,

Et une des coordonnées, £,, du point C, ce qui fait en tout six conditions.

On prouverait de même que la position d'une figure invariable tracée sur un plan, ou plus généralement sur une surface, est déterminée quand on fixe la position de deux de ses points, ce qui exige trois conditions, et que le nombre des conditions nécessaires pour définir les positions relatives de n points formant une figure invariable située sur un plan ou sur une surface est égal à 2u — 3 : savoir la distance AB de deux points A et B pris dans '*'

la figure, et les deux distances MA, MB, de chacun des n — 2 autres points à ces deux-là : en tout 1 -h 2 (n — 2) = 2u— 3.

124. Le mouvement d'un système invariable dans l'espace peut être entièrement défini par six équations distinctes :

Trois équations par exemple définiront le mouvement du point A, en donnant les coordonnées x, y et % de ce point en fonction du temps t;

Deux équations définiront le mouvement du point B, en faisant connaître ses coordonnées xi et yi ;

Et une équation définira le mouvement du point C, en donnant son abscisse xt.