SYSTÈMES INVARIABLES

Fig. 123.

126. Le second mouvement simple d'un système solide est le mouvement de rotation.

Supposons le système lié invariablement à une droite fixe AB, qui sera Y axe de rotation; si Ton abaisse d'un des points

mobiles M une perpendiculaire MP sur AB, le mouvement du système laisse constante cette longueur MP. Le lieu décrit par le point M est donc une circonférence, dont le centre P est situé sur Taxe AB, et dont le plan est perpendiculaire à cet axe. Un autre point N du système décrit une seconde circonférence, dont le plan est perpendiculaire à AB, et dont le centre est un point Q, projection du point N sur Taxe. Parle point P, menons PNn égale et parallèle à QN. Joignons KNt et NâM. La droite QN élant perpendiculaire à Taxe PNâ, parallèle à QN, est aussi perpendiculaire à AB, et appartient au plan du cercle décrit par le point M. Mais NNâ est égal et parallèle à PQ, côté opposé du parallélogramme QPNtN. Donc NNj est perpendiculaire au plan de ce cercle, et par suite à la droite N£M qui passe par son pied dans ce plan. Le triangle iMNNj est par conséquent rectangle en Nt. Le côté NNâ de l'angle droit n'est pas altéré par le déplacement du solide, puisqu'il est constamment égala PQ. L'hypoténuse NM ne Test pas non plus, puisque la dislance des points N et M est supposée invariable; donc le troisième côté MNt est constant pendant le mouvement. Or MNâ est aussi le troisième côté d'un triangle PNjM, dans lequel les côtés PM et PN, = QN restent constants; el, comme il est constant lui-même, l'angle MPNâ reste constant aussi.

Donc, enfin, dans le mouvement de rotation d'un système solide autour d'un axe AB, l'angle MPNâ de deux rayons MP, NQ,

ROTATION. iS0

abaissés de deux points du système perpendiculairement à l'axe, reste constant1.

, Si le premier rayon MP décrit dans le plan du cercle MP un angle dx 1res pelit pendant un temps dt très court, le second rayon KQ décrira dans le plan du cercle NQ ce même angle

da.

dx; de sorte que la vitesse angulaire j sera la même pour

ces deux rayons. Donc, dans le mouvement de rotation, la vitesse angulaire de chaque point autour de taxe est à un même instant la même pour tous les points du système.

La vitesse linéaire du point M s'obtiendra en divisant par dt l'arc très petit décrit par le point M ; or cet arc de cercle correspond à un angle au centre égal à dx. Appelons r la distance MP ; dx étant évalué en parties du rayon, Tare décrit par le point M sera rdx, et par suite la vitesse linéaire du point M

rdx dx sera -37=31 Xr: c'est le produit de la vitesse angulaire commune à tous les points du système par la distance à l'axe du point considéré.

Donc, dans le mouvement de rotation, la vitesse linéaire d'un point est le produit de la vitesse angulaire commune à tous les points du système, par la distance de ce point à l'axe ; et les vitesses linéaires de deux points, à un même instant, sont proportionnelles aux distances de ces points à Vaxe de rotation.

Ainsi, à un même instant, les vitesses linéaires des divers points d'un corps solide animé d'un mouvement de translation sont égales et parallèles, et les vitesses angulaires de tous les points d'un corps solide animé d'un mouvement de rotation autour d'un certain axe sont égales; la vitesse linéaire d'un point particulier du système tournant est proportionnelle à la distance de ce point à l'axe, et sa direction fait un ingle droit, non-seulement avec Taxe, mais encore avec le rayon abaissé du point perpendiculairement à l'axe de rotation.

1 On appelle angle de deux directions qui ne se rencontrent pas, l'angle formé par deux droites menées parallèlement à ces directions par un même point de l'espace.