Une méthode due à Thomas Simpson permet de trouver

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une valeur plus approchée de l'aire cherchée. Voici cetle méthode, avec la démonstration qu'en donne Poncelet. Partageons la base, BC, de Taire à évaluer en un nombre pair, 2n, de parties égalcs.aux poinls e,f,.-hy p ; soit b l'une quelconque de ces parties égales. Menonsles ordonnées eE,/F,... Ml,... pP, et mesurons leurs longueurs y„, tj„ y,,-- Sm-d ïh-h Sm- Nous allons évaluer séparément l'aire comprise entre deux ordonnées conséculives d'indice pair, par exemple entre les ordonnées Afi et /F.

Fj „ Divisons l'intervalle

II/" en trois parties (gales aux poinls m et u, el menons les ordonnées roM, nS, puis joignons AM, MN, NF. La somme des aires des (rois trapèzes ABmM, MmjiN, Nn/T", approchera beaucoup de l'aire cherchée ; or elle a pour mesure la somme

î{AB + mH)xnm + i(mU+nS]xmn + l(nH+mXf./ = |x(AB + 2(mH + ->S)+/F).

Mais dans le Irapèze m M Ni* la droite cE est menée à égale . dislance des deux bases; la porlion el de cette droite, comprise entic les cotés MN, mu, est donc la demi-somme des hases, cl par suite

mïl + n3=2xej.

La somme cherchée prend donc la forme

gX(AB + *XeI+/F),

et comme le point l esl très voisin du point E, on peut remplacer el par «E, ou par y,. On trouve en définitive pour mesure approximative de l'aire AB/"F, la somme

ii'Ja + i'Ji +!!*)■