Soient a et b les demiaxes de l'ellipse

0 le centre de l'ellipse, OX la direction du grand axe, 0Yt perpendiculaire à OX, la direction du petit axe.

Par le point 0, menons une droite quelconque OM, et prenons sur cette droite une Ion-

gueurOM = — -, et une autre longueur 0N = ^-^.

Du point N comme centre avec un rayon égal à ON, décri-

Fig. 132.

vons un arc de cercle qui coupera OX en un second nous aurons NL=ON. Joignons NL, et achevons le parallélogramme LNMP, en menant par L el M des parallèles a >"L,K)t. Je dis que le point P appartient à l'ellipse cherchée.

En effet, prolongeons HP jusqu'à la rencontre des axes OS, OY aux points X et Y; nous aurons, à cause des parallèles MS, NL, la proportion

MX ou

OrNL=ON par construction; donc MX = O.M. Par conséquent le point M est le milieu de l.i droite XY, et celle droite. double de lu droite constante MO. a une longueur constante el égale a B-t-fi. Le point P, situé à une distance constante, MP=PiO, du milieu M de XY, est li\c sur cette droite. Le lieu de» points P peut donc être considéré comme le lieu impositions d'un point particulier d'une droite de grandeur constante XY, dont les deux extrémités glissent sur les deux ans rectangulaires OX, OY. On sait que ce lieu est une ellipse, etil est facile de voir que cette ellipse a pour demi grand axe a, et pour demi petit axev.

lbns la pratique. on réalisera le parallélogramme NMPLawe quatre régies articulées, dont l'une sera prolongée d'une quantité NO — NI. ; il suflira de maintenir le point 0 par un pivot à la remontre des axes, cl de faire glisser le sommet L le long deOX, pour qu'un crayon placé a l'articulation P trace l'ellipse; cette construction sera plus commode que l'emploi de la droite mohile XY parce qu'elle exige moins d'espace. Elles un autre avantage, c'est de donner immédiatement le tracé de \:\ noi maie en chaque point de la courbe, et de permcllrede tracer du même mouvement continu une courbe parallèle ef équidbtante.

Menons la droite OP, qui coupe LX en R ; je dis d'abord que le point R est fixe sur le coté NL. En effet, les triangles semblables ONR,OMP donnée: la proportion su os ïp=ôïj

les trois derniers termes de 1j proportion étant constants, le premier l'est nussi. Le point R décrit une ellipse semblable à celle que décrit le point P, et semblablemcnt placée par rapport au centre 0. Les normales à ces ellipses aux points R et 1' sont donc parallèles. Par le point I. élevons sur 0X une perpendiculaire LS, qui coupe OM en S; nous aurons NS = NL = 0N, et le point S, intersection des normales OS et LS, menées aux lignes décrites par les extrémités N et L de la droite mobile NL, est le centre instantané de rotation de cette droite (§152). Par suite, la droite RS est la normale à la courbe décrite par le point R. La normale à l'ellipse décrite parle point P s'obtiendra donc en menant par ce point une parallèle IBS.

Cela étant, prenons arbitrairement un rapport K quelconque, et portons sur PM, à partir du point P, une quantité

el sur le prolongement de LP, à partir du même point P, une quantité PV = NS x K = — ^— x K ; acbevons le parallélogramme QrVZ dont les cotés seront constants; la diagonale PZ de ce parallélogramme sera parallèle à RS. En effet, les triangles PQZ et UNS ayant deux cotés parallèles chacun à chacun, dirigés dans le même sens et proportionnels, le troisième côté PZ de l'un est parallèle au troisième cûlé RS de Taulre.

Donc PZ est la normale a l'ellipse décrite par le point P.

La longueur PZ de la diagonale du parallélogramme PQVZ varie à mesure que le parallélogramme se déforme : il faut par conséquent que la règle PZ, tout en étant fortement pincée au point P, puisse couler sans résistance dans l'articulation Z, qui l'empêche seulement de dévier d'un côté ou de l'autre. Tour décrire une courbe équidislanle a l'ellipse, il suffira de fixer sur la règle PZ un crayon I à une dislance PI du

«n uinm »U QCHUUUTÊM

point P, égale à l'intervalle qu'on veut laisser cnlre les deux

courbes.

La construction qui vient d'être indiquée convient surtout au tracé des ellipses sur les chantiers de construction. Les croyons que Ton emploie pour le tracé des épures sont généralement taillés en biseau cl non en pointe fine , on devra donc les fixer sur 11 règle PZ de manière que la direction du biseau fasse un angle droit avec la direction de cette régie : alors on sera certain que, dans toutes les postlions du parallélogramme, le tranchant du cravonsera langent àlu courbequ'il décrit.

Itiml M QMWULATttt COWTatTT SOI QUATRE CÔTÉS DÛSSfcâ.

138. Sait ABCD le plus grand des quadrilatères qu'on puisse construire avec quatre eûtes donnés. On pourra déformer ces quadrilatères en laissant fixes les deux sommets A à D, et en faisant pivoîer le contour ABCD autour des articulations A, B. C et D. Considérons la [wallon infiniment voisine de ce contour, AB'C'B. Le point B a parcouru un chemin élémentaire Bb', normal à AE; le point C a parcouru dans le même temps on chemin élémentaire CC',oormal à DC. Le centre instantané de la droite BC s'obtiendra en prolongeant les directions AB, DC jusqu'à leur rencontre au point 0; par conséquent le triangle Ol/C n'est autre chose que le triangle OBC, qui aurait tourné d'un angle B0B' = C0C autour du point 0.

Le quadrilatère ABCD étant supposé maximum , il j a égalité, am infiniment petits d'ordre supérieur prés, entre la surface ABCD et la surface AB'C'D, qui se déduit de la première par une altération infiniment petite. Ajoutons de part et d'autre tes triangles égaux OBC et OB'C; nous aurons l'égalité «tuT. [Ulj = iurf . (OB'* DCO) ,