COURBES ENVELOPPES

Par exemple, faisons glisser une droite AB, de longueur constante, dans l'angle droit formé par deux droites flxes CX, CY. A un instant particulier, le centre instantané de la droite AB est le point 0, intersection des normales AO, BO,

aux trajectoires des points A et B; le point P, pied de la perpendiculaire abaissé du point 0 sur AB est un point du lieu des intersections successives de la droite AB, ou, comme on dit, de la courbe enveloppe des positions de cette droite.

Chaque point de la droite AB décrit une ellipse normale à la droite qui joint le point 0 au point décrivant. Le point P, considéré comme lié à la droite AB, décrit donc un élément d'ellipse normal à 0P, c'est-à-dire tangent à AB, ou enfin tangent à l'enveloppe des positions de AB. Les ellipses décrites par les divers points de la droite AB sont donc toutes tangentes à lf enveloppe des positions de celte droite, et ont même enve» loppe que cette droite mobile; ce qui résulte aussi de ce que l'enveloppe des positions de la droite est la limite de la région du plan atteinte par ses différents points, et par suite est la limite de la région du plan couverte par le tracé des ellipses que ces points décrivent, ou, ce qui revient au même, est l'enveloppe de toutes ces ellipses.

Fig. 137.

CYCL01DE. — M0UVEML3T ÉPICTCLOIOAL.

141 . La cycloïdeest la courbe EF11G, engendrée par le mouvement d'un point F d'une cii conférenceOC, qui roule sans glisser sur une droite fixe AB.

Fi„ 158 H résulte de celte géné-

ral ion qu'à un instant quelconque Tare CF, compris, sur la circonférence génératrice.

CÏCI.01DE. 2W

enlrc le point décrivant et le point de contact G de cette circonférence avec la droite AB , est égal à la longueur CE comprise, sur celle droite, entre le point C et le point de dépait E de la cycloïde.

Proposons-nous de mener la tangente à la cycloïde au point F.

Pour y parvenir, remplaçons le cercle ÛG par un polygone d'un très grand nombre de côtés, et voyons ce qui se passe lorsque ce polygone roule sait.* ijUsser sur la droite AB.

Le polygone vient successivement appliquer ses cotés sur la droite AB (tig. 130). Soit cd le côté actuellement an contact; le mouvement par lequel le polygone viendra appliquer sur AB le J 8 la suite du côté cd, sera /' * une relation autour du point </, ' sonnet commun à ces deux cotes consécutifs. On voit donc que dans

ce mouvement de roulement du polygone sur la droite, les sommets successifs du polygone servent, chacun a son tour, de entres de rotation.

Lorsque le nombre îles cotes du polygone augmente au delà de toute limite, le polygone se confond avec le cercle OC (lig. 138); la rolatîon s'opère toujours autour du sommet du polygone qui se trouve actuellement sur la droite AB; à la limite, elle s'opère autour du point C, point de contact du cercle et de la droite.

La droite CF menée du point C au point décrivant est donc la normale à la cycloïde au point F, et la tangente à la cycloïde, qui lui est perpendiculaire, s'obtiendra en joignant le point F au point K, extrémité du diamètre du cercle générateur qui passe au même point C.

Par la même raison, la courbe décrite par un poinl M quelconque lié au cercle mobile, cl entraîné dans son mouvement de roulement, a pour normale lu droite CM.

1 18. Le même raisonnement prouverait que quand une courbe mobile Plj roule sans glisser sur une courbe fixe AB, la

normale au lieu décrit par un point M invariablement Hé I 11

courbe mobile, s'obtient en joignant la position du point Ma

un certain instant, au point C par lequel

les deux courbes se louchent au màM

instant.

Le mouvement de roulement d'une courbe plane sur une courbe fixe tracée dans Sun plan prend le nom de momiyment ëpicydoùitil. Uépicycloideêsl, d'une manière g -'■■:. ligne décrite par un point dune figure de forme constante don! une courbe roule sans glisser sur une ligne Use. La est l'épicycloïde particulière obtenue en prenant pour ligne fixe une droite, pour courbe mobile un cercle, el pour point décrivant un point de la circonférence de ce cercle.

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