Pour exemple de mouvement épicycloidal , considè

FiS. 143.

EPICYCLOIDAL. 213

rons le mouvement d'une droite AB, de longueur constante, dont les extrémités A et B glissent respectivement sur deux droites fixes rectangulaires CX, CY. Cherchons comment nous obtiendrons ce mouvement en faisant rouler sur une courbe fixe une courbe liée invariablement à la droite AB.

A un instant quelconque, le centre instantané de rotation est le point 0, intersection des deux droites AO, BO, élevées aux points A et B perpendiculairement à CX et à CY. Le point 0 ainsi obtenu est le quatrième sommet du rectangle dont les deux côtés sont CA et CB. La diagonale CO de ce rectangle est égale à l'autre diagonale BA, laquelle est constante par hypothèse Donc CO est constant, et le lieu des centres instantanés sur le plan est par conséquent une circonférence DEF, décrite du point C comme centre avec un rayon CO égal à la longueur de la droite donnée. Voilà la courbe fixe trouvée.

Pour obtenir la courbe mobile, observons que le point 0, centre instantané de rotation, est le sommet d'un angle droit AOB, dont les côtés passent respectivement par les points A et B de la figure mobile. Il appartient par conséquent à la circonférence décrite sur AB comme diamètre. Ce cercle OBCA est la courbe demandée. Le mouvement de la droite BA s'obtiendra en faisant rouler la circonférence OBCA sur la circonférence fixe DEF. Le déplacement élémentaire de la figure qui résulte du roulement du premier cercle sur le second, équivaut au déplacement élémenlairc en vertu duquel les extrémités de la droite AB glisseraient sur les droites fixes CX, CY.

On arriverait à la même conclusion si l'angle YCX des droites directrices n'était pas droit.

On peut observer que tout point de la circonférence mobile OBCA décrit une droite passant par le point C ; que le point I, centre de ce cercle, décrit, autour du centre C, un cercle de

diamètre égal à ÂB ; que tout point de la droite mobile AB décrit une ellipse qui a le point C pour centre, et les droites CX, CY, pour directions de ses axes principaux. Enfin, si Ton appelle t; la vitesse avec laquelle le point de contact parcourt l'une ou l'autre des courbes OBCA, OEFD, et a> la vitesse angulaire de la courbe mobile au même instant, l'équation générale

"^G-fi)

peut s'appliquer. fc On a ici

r. = co = AD, p = oi=^ac.

Nous avons pris R avec le signe — dans l'équation, parée que les courbures des deux circonférences dont Tune roule sur l'autre sont ici dans le même sens, et que les angles de contingence se retranchent au lieu de s'ajouter.

Nous aurons donc

/ 1 4 \ v ou bien

»=«XAD

Le point de contact se meut par conséquent sur la circonférence ED, avec une vitesse égale à AB Xo>, comme il est facile de le reconnaître directement.

145. Cette manière de construire l'ellipse conduit à la solution d'un problème important de géométrie: Étant donné un système de diamètres conjugues, trouver la grandeur et la direction des deux axes.

Considérons d'abord le mouvement épicycloïdal du cercle de diamètre OC, au dedans de la circonférence de rayon OC. Tout point M du plan du cercle mobile décrit une ellipse, et la normale à celle ellipse au point M est la droite

ÉPICYCLOÏDAL.

Fig. 144.

OM. Du point C abaissons CL perpendiculaire sur OM prolongée ; cette droite CL coupe la direction OM en un point L qui appartient à la circonférence mobile, car 0 et C sont les extrémités d'un même diamètre de cette circonférence; d'ailleurs CL est parallèle à la tangente MT à l'ellipse au point M. Donc CM, CL, sont les directions de deux dia- r mètres conjugués de l'ellipse. Je dis de plus que la grandeur du diamètre conjugué de CM est donnée sur la figure par la droite OM. Joignons en effet le point M au centre I du cercle mobile , et prolongeons cette droite jusqu'à la rencontre de la circonférence en A et en B. Les points A et B décriront dans le mouvement delà circonférence les droites fixes aCa', pC£', qui sont rectangulaires, et qui ne sont autres que les directions des axes de l'ellipse lieu du point M. On obtiendrait la même courbe en faisant glisser la droite de longueur constante ÀB dans l'angle droit gCa. Donc BM est le demi grand axe, a, et MA le demi petit axe, by de l'ellipse. Mais on a, dans le cercle OACB,

ML est égal au produit du demi - diamètre CM = d par le sinus de l'angle MCL=0 que ce diamètre fait avec son diamètre conjugué; on a donc

OMXa/sin0= ab.

Or, si Ton appelle 6' la longueur du demi-diamètre conjugué le dy le théorème d'Apollonius donne

a'(/ s\nd=ab.

Donc

De là résulte la construction suivante , indiquée par

M. Mannheim dans les Nouvelles Annales de mathématique* (t. XVI, p. 187). Étant donnés les deux demi-diamètres CM =a\ CN=ft\ d'une ellipse, du point M abaissons une perpendiculaire sur la direction de NC, et prenons sur cette droite M0= CN=f .

Joignons OC, et soit I le milieu de cette droite. Puis portons sur la droite IM, de part et d'autre du point I, deux quantités IA=IB=1C. Les directions CA, CB, seront les directions des axes. Le demi-axe a, que Ton doit porter suivant la direction CA, est égal à BM, et lo demi-axe fc, à porter dans la direclion CB, est égal à AM.

Fig. 145.