PROBLÈME INVERSE DES ÉPICYCLOÏDES
146. Étant données dans un plan deux lignes AB,MNV déterminer une troisième courbe telle, que, si on la fait rouler sur AB, un point invariablement lié à cette ligne engendre l'autre UgneWS. Soit PO la courbe cherchée dans une de ses positions particulières; elle touche en C la ligne AB. Du point C abaissons la normale CD sur la ligne SIN.
Le point D, supposé invariablement lié à PQ, décrira dans le mouvement de roulement élémentaire de la courbe PQ un chemin normal à CD, et par suite se déplacera suivant la courbe MN. Le point D est donc le point décrivant.
Considérons ensuite sur la courbe PQ un second point R, et prenons sur la ligne AB un arc CS égal à CR. Le point R viendra, dans le roulement, coïncider avec le point S, et abaissant la normale SE sur la courbe MN, on aura en E la
Fi«. 14G.
ÉPICYCLolDAL. Î17
position correspondante du point décrivant sur sa trajectoire MN. Or ce point doit être encore le point D, supposé entraîné par la courbe mobile PQ. La droite SE est donc la position prise en vertu du roulement par la droite RD ; par suite* les longueurs RD, SE sont égales, et l'angle R, formé par la droite DR et la courbe PQ, est égal à l'angle S formé par la droite SE et la courbe AB.
On connaît, d'après le tracé des deux courbes AB, MN, la relation qui existe entre l'angle S et la longueur / = ES comprise entre les deux courbes sur la normale à la courbe MN. Soit
tangS=f(/).
l'équation qui lie ensemble ces deux variables. Cette équation existera pareillement entre la tangente de l'angle R et la longueur DR = r. Prenons donc le point D pour pôle, et la droite DG pour axe polaire ; la tangente de l'angle R est donnée par l'équation
tang II = w,
et r équation polaire de la courbe cherchée sera
ou, en séparant les variables,
Il ne reste plus qu'à l'intégrer. On peut remarquer d'ailleurs que l'égalité qui existe point par point entre les angles R et S et entre les longueurs ES et DR assure aussi l'égalité entre les arcsCS et GR.
147. Exemple. — On donne pour lignes AB et MN deux droites (fig. 147). On demande quelle courbe il faut faire rouler sur la droite AB pour qu'un point lié à cette courbe décrive la droite MN.
Menons une normale ES à la droite MN. Nous trouvons pour
l'angle S une valeur constante égale à ^ — a, a élant l'angle des deux droites.
Donc l'équation de la courbe cherchée est
^ = tang(|-«)=cot«,
ce qui donne en intégrant , et en appelant A une constante arbitraire,
. Mang« r=Ae ,
équation d'une spirale logarithmique qui coupe tous ses rayons
vecteurs sous l'angle ^ — a, et qui a le pôle pour point
asymplolique. Quand on fait rouler cette courbe sur une droite,
le pôle décrit une autre droite faisant un angle a avec celle-ci. On peut déduire de là cette autre propriété de la spirale logarithmique :
la longueur de Tare de la courbe à partir d'un de ses points S jusqu'au pôle autour duquel elle fait une infinité de circuits, est
finie et égale à la longueur SO.
148. Pour ligne MN, prenons une chaînette, et pour ligne directrice AB l'axe horizontal de la courbe, c'est-à-dire l'horizontale menée dans son plan à une dislance FG = a au-dessous de son point le plus bas; a est le paramétre de la chaînette, celui qui entre dans l'équation de la courbe
Fig. 147.
Fig. US.
= a-\ea
Cherchons la relation entre la tangente de l'angle S et la longueur ES de la normale.
ÊPICYCLOÏDAL. 2l!>
Pour cela, différentions l'équation précédente:
f- --\ iy 1 1 a a)
dy dx~2
On en déduit
vds w* La normale ES a pour longueur ^ = — . Nous ferons donc
dx a
La distance HK du pied de l'ordonnée à la tangente est égale à
par suite
a sinS = cosKHE = -.
Donc
langS=
v^l Vj,1-a4'
ou bien
\;«J— n« \ al —a* \ l — a
L'équation polaire de la courbe cherchée sera donc, en remplaçant / par r,
rdO
2L* rir
dr Vr"=ï'
220 CiUUŒTTE.
On est ainsi conduit h chercher l'intégrale de l'équation
dO
Posons
u élant une nouvelle variable ; de cette relation on déduit
dr=2audu,
dfl=-
1 lau du 2<fa tî ' a^l-|-«,)"■l^-M*,
el intégrant,
- = arclangii-f C.
On peut disposer de la constante de manière que 6 soit nul pour le point le plus bas de la chaînette. On a alors r = ay et par suite m=0. On prendra donc C=0, et l'équation de la courbe sera
M = tang^ ,
ou bien, en élevant au carré,
taiig'
0\ __ a cos* Q-
1+ccsô'
équation d'une parabole rapportée à son axe et à son foyer. La chaînette est donc le lieu décrit par le foyer d'une parabole qui roule sur une droite fixe.
