MAXIMUM

Considérons les sommets A et B comme fixes, et déformons le quadrilatère infiniment peu, en faisant tourner les côtés AD, BC, autour de ces points ; le quadrilatère prendra la forme

AD'C'B ; pour exprimer que sa surface est maximum , il suffira d'égaler les deux surfaces ABCD, ABT/D\ ?

Prolongeons les arcs AD, BC, jusqu'à leur rencontre au point S. Ce point sera le pôle instantané de la rotation qui amène le côté DC dans la position IKC' (g 149, 2°); le triangle SVC n'est autre que le triangle SDC, déplacé d'un certain angle infiniment petit autour du point S.

Appliquons les raisonnements que nous avons faits pour résoudre la môme question sur le plan (§ 158); nous reconnaîtrons que la condition du maximum se réduit à l'équivalence des triangles infiniment petits

SAD'=SBC.

Les arcs DD', CC, qui représentent les déplacements respectifs des points D et C, partagent chacun de ces triangles en deux parties que nous allons évaluer séparément. Considérons d'abord la partie SDD'. Soit d? l'angle au sommet S. L'arc DD' apparlient à un petit cercle décrit du pôle S avec un rayon sphérique égal à SD. Du point D, abaissons sur OS une perpendiculaire DE; le point E sera le centre de l'arc DD\ et l'angle DED' sera égal à d?. Pour évaluer Paire SDD', remarquons que cette ligure est un fuseau dans la zone qui a le point S pour pôle, et pour base le petit cercle auquel appartient Parc DD'. La hauteur de cette zone est la distance ES; soit arc SD = e; nous aurons ES = 1 — coss, et la surface de la zone sera 2z ( 1 — cos e) ; la sui face du fuseau dont

DU QUADRILATERE SPHÊRIQl'E. 2i3

l'angle au centre est d?, est par suite égale à (1 — cosejd?. On peut considérer de même Tare infiniment petit DD' comme décrit du point A comme pôle, avec un rayon sphérique AD ; le centre de cet arc est au point G, pied de la perpendiculaire abaissée du point D sur le rayon OA, et l'angle DGD' est égal à Tangle DAD'; appelons dty cet angle, et a Tare AD, qui est l'un des côtés donnés. La surface de la zone sphérique à une base dont fait partie le fuseau ADD* sera égale à

2* (1 — COS a)»

et le fuseau lui-même à

(1 — COS a) <ty.

Mais dty peut s'exprimer en fonction de d?. On a en effet

DD' = DE X angle DED' = DG X angle DGD/,

ce qui donne la relation

sin t X d? = sin a X d}.

Donc

dp = do.

L'aire du triangle SD'A est par suite égale à la somme

[l—cost)d? + {i — cos«)^d9.

Opérons de même pour le triangle SC'B. Soit

arcBC = /3, arcSC = 0.

L'angle CSC est encore égal à do ; quant à Tangle CBC, il est égal à

Fin 0 , sin£ J

de sorte que Taire du triangle SBC est mesurée par la somme

Il — cos 6) d? 4- (i - cos ^j ^ d9.