DU QUADRILATÈRE SM1ÈR1QIE

dnnl quatre cotes soient donnés se ramène au même problème sur le plan.

En effet, les eûtes donnés sont des arcs de grand cercle dont les cordes sont connues ; ces cordes forment un quadri- 1. 1ère plan, inscrit dans le même cercle que le quadrilatère splicriquc. Ayant donc construit avec les cordes un quadrilatère plan inscriptible (g 138), on connaîtra le diamètre du cercle circonscrit au quadrilatère spliêrique cherché ; le rayon sphèrique de ce même cercle est la moitié de l'arc de -and cercle sous-tendu par son diamèlre. Le théorème relatif au plan n'est qu'un cas particulier : théorème relatif h la sphère; il suffit de supposer le rivoii R de cette sphère infini. A la place de e, 8, a, (î, met-

I les rapports k, 5, 5 , s, des longueurs des arcs SD, SG,

A, CB, au rayon. L'équation qui définit le maximum prendra 1 forme

-iaag|

Les angles jj, c .... sont infiniment petits quand Rcstinfini.

Remplaçons cosselco^jj par 1 — ^ et 1 — ==, en nous

arrêtant aux termes du second ordre, puis les tangentes ut les sinus parles arcs eux-mêmes, ce qui correspond au même degré d'approximation. Il viendra

ïll* • ll« '.iR* * 11*

Donc

SDxSA = SC>cSB,

équation qui montre que les 4 points ABCD sont sur une même circonférence.

Nooram nus soudk

moiydilm ij un solide inyaui.ùim: on

UN POIST me.

taire du suliile lié à tite autour d'un axe in savons de plus que le m lu sphère S peut s'oblenu

151. Considérons un solide invariable, mobile autour d'un ut fixe 0. Coupons ce so!ide par une surface sphèrique S9 u,ant le point 0 pour centre. Nous obtiendrons pour întcisection une certaine figure spliériuue A, qui se déplacera à lu surface de lit sphèrcS qr — J *"" ™!ra entraînée par le mooïsmc le. Le mouvement èlêmen-

ai gme A est, en vertu iU

écedents, une rotation inle autour d'un diamètre de loue le mouvement e'iémcn- 'unerotalton fH/InJmMJ fk Missant par le point 0. Nous t continu de la figure A sur nt rouler une ligue L.apparti'iianl à la ligure A, sur une ligne flieX, tracée sur la surface de la sphère S. Ce mouvement de la figure A suffit pour définir le mouvement du corps. Nous pouvons prendre le* lignes >, et I, comme les directrices de deux surfaces coniques ayant le point 0 pour centre commun; le roulement de Lsur >. équivaudra au roulement du cône (0,L) sur le cùne fixe (0,1), de sorte qu'en définitive le mouvement continu d'un solide invariable (/ut a un point 0 fixe, peut s obtenir en faisant rouler ant surface conique appartenant au solide et ayant pour somme! l< point 0, «tir une seconde surface conique ayant également pour sommet le point 0, mais restant fixe dans l espace. L'axe instantané de rotation du solide, à un moment donnj, est la |8afr ralrice de contact 0.V1 du cône mobile avec le cône fiie. Les résultais auxquels nous sommes parvenus pour le mouvement dans un plan ou parallèlement a un plan, sont de) cas particuliers du mouvement d'un solide ayant un point litt- La sphère sechunge en un plan quand sou rayon grandit au

ALTOUIl DTja POWT. SÎ7

delà de loulc limite; le point 0 s'éloignant indéfiniment, les cônes (0,L', (0,>.) deviennent des cylindres, el les lignes L et X sont les sections de ces cylindres par des plans perpendiculaires à leurs génératrices. Le mouvement continu d'un solide inva:u>ble mobile qui se déplace parallèlement à un plan, est donc len'sultat du roulement d'une .surface cylindrique liée au corps, ■m- une surface cylindrique fixe dans l espace, el les génératrices de ces deux surfaces sont perpendiculaires an plan parallèle meut auquel s'effectue le mouvement du solide.

UOLUMEM CES EU AL d'lHE FICL'HE PLA.NE DANS LESPACG.

15*2. Soit F la ligure plane mobile, prise dans une de ses positions, el soit F* une seconde position quelconque de la même figure. Cherchons comment on peut ramener la figure mobile de la seconde position à la première.

Appelons P et I" les plans dans lesquels sont contenues les deux ligures F et F'. Ces plans se coupent généralement suî- \anl une droite LL'. On peut donc, en faisant tourner le plan P'autuur de celte droite LL', amener la ligure F' dans le plan P. Représentons par P" la nouvelle position prise dans ce rabattement par la ligure mobile. On choisira le sens dans lequel on opère le rabattement du plan I", de telle sorte que les deux figures cgdes F et F", loules deux situées dans le plan P, puissent coïncider l'une avec l'an Ire sans retournement de l'une d'elles. On peut alors ramener la figure F* sur la i par une rotation unique autour d'un point 0 du plan P, c'est-à-dire autour d'une droite 00' perpendiculaire à cj l-lan (g 130).

Donc on peut ramener la figure F' dan» la position F au moyen de deux rotations : l'une autour de l'intersection des deux plans, l'autre autour d'une perpendiculaire au plan de la figure F.

BI53, Appliquons ce théorème à un déplacement infiniment tit. Kous eti déduirons cette nouvelle proposition : Le mouvement chitcntuire d'une [iyure plane dans l'espace est

la résultante de deux rotations élémentaires, autour d' axes rrelantjulaires; l'un LL', situé dans le plan de la (taure, l'autre OOf normal à ceplan.

L'axe LL', situe dans le plan P, est l'intersection de ce plan avec la position intiniment voisine, P', qu'il occupe au bouf d'un temps infiniment petit; c'est donc une des génératrice? de la surface développable que le plan P enveloppe dans son mouvement; c'est la caractéristique de celle surface, ou la tangente a son arête de rebroussement.

Le second axe OO' est perpendiculaire au plan P, et cVsl autour de lui que s'opère le déplacement élémentaire delà figure dans ce plan. On appelle foyer de la figure plane1, le point 0 où l'aie 00' perce le plan P.

154. Tous les plans normaux aux trajectoires des différent points m de la figure mobile passent par le foyer 0.

En effet, le déplacement élémentaire mm' du point m est In

résultante de deux déplacement, l'un mu autour de l'axe 11'

w qi et perpendiculaire au plan P, l'autre »>j>,

"(7)p autour du point 0, et situé dans ce plan.

mvT La droite Om est perpendiculaire à wj>,

\J elle est de plus perpendiculaire à mit

~ ^__^ Donc elle est perpendiculaire au plan nm/j.

V et par suite au déplacement effectif mm'. Le plan normal à la trajectoire mm' contient donc la droite mO, et passe par le point 0.

155. La trajectoire du foyer 0, considéré comme un point k ta fiçare mobile, est normale au plan P.

En effet, le point 0 subit la rotation élémentaire autour rie la droite LL', sans participer à la rotation qui s'elTrcluc autour de lui. Donc son déplacement est normal au plan P, et il est le seul point du plan qui possède cette propriété.

156. Lorsque le planP el sa posilion infiniment roistttf ne serenconlrent pas, la caractéristique LL' passe à l'infini,

• M. Cjuslh, Pri>/n-iV«« gtométrique* du t. XVI, I8«!

infiniment petit t»

eorm nilidt^Ubre dam fetpacc (CompLes vendus de l'Académie des i "

d"v>e figi'he pluie. 220

cl la relation qui s'opérait autour de celle droite se change en une translation perpendiculaire au plan P, c'est-à-dire parallèle à l'axe 00"; alors la ligure mobile subit à la fois, dans son mouvement élémentaire, une rotation autour de l'axe 00' et une translation parallèle à cet axe. Chaque point m de la figure parcourt, en verlu de ce double déplacement une hélice mm', tracée sur un cylindre ayant pour axe 00' el la distance on: pour rayon; toulcs ces hélices ont le même pas. Le mouvement élémentaire de la figure est donc un mouvement hélicoïda', analogue au mouvement que prend une vis mobile dans un écrou fixe. Nous montrerons directement qu'il en est toujours ainsi, et que le déplacement élémentaire d'un corps solide quelconque est un mouvement hélicoïdal, dans lequel le corps éprouve une rotation autour d'un certain axe en même temps qu'une translation parallèle à cet axe.

MOUVEMENT ÉLLSIE.NTAUIE D UN SOLIDE LIBRE DAS'S L EîrACE.

157. Coupons le corps solide par un plan quelconque P, qui y détermine une figure F. Le mouvement du corps sera entièrement défini par le mouvement de celte figure ; or nous venons de démontrer (g 153) que le mouvement élémentaire de la figure plane F était la résultante de deux rotation5, l'une autour de la caractéristique LL' du plan P, , l'autre autour de la normale 00' au plan P, menée par le foyer 0. Le point 0 est un point commun a tous les plans normaux aux trajectoires des différents points de la figure F.

Considérons dans le corps solide une droite quelconque AA'; je disque les plans normaux aux trajectoires des différents points de AA' votif tous passer par une même droite BB'. Menons, en effet, par la droile AA' un plan P quelconque ; les plans normaux aux trajectoires de tous les points de ce plan passent par un certain point 0,

230 MOUYEyEST

foyer du plan P. De môme, les plans normaux aux trajectoires de lous les points d'un autre plan Q, mené aussi par AA'. passent par un même point I, foyer du plan Q. Les plans normaux aux trajectoires des divers points de la droite AA', qui est contenue à la fois dans les plans P et Q, passent donc à la fois par les points 0 et I, et par suite ils contiennent tous la droite BB' qui joint les deux foyers. On voit en même temps que le Heu des foyers de tous les plans conduits par une même droite AA' est une seconde droite BB'.

Cette propriété est réciproque, c'est-à-dire que la droite AA' est le lieu des foyers des plans conduits par la droite BB'. Pour le démontrer, il suffit de faire voir que si par les points 0 et I on fait passer un plan Oal, coupant on a la droite AA't le point a est le foyer de ce plan. Or le point a, comme appartenant au plan P, décrit dans le mouvement élémentaire du corps un arc normal à la droite Oa (g 154); comme appartenant nu plan Q, il décrit un arc normal à* la droite lx. Le déplacement élémentaire du point a, normal à la fois aux droites al et à aO, est normal au plan Oal ; donc le point ses! le foyer de ce plan (§ 155).

Les deux droites AA' et BB' sont ainsi conjuguées, et la trajectoire de chaque point de l'une est normale au plan menëpw ce point et Vautre.

Cas particuliers. — 1° Les deux droites AA' et BB' peuvent avoir un point commun C. La trajectoire de ce point C, considéré comme appartenant à la droite AA', doit être normale* un plan conduit par le point C et la droite BB', c'est-à-dire à un plan quelconque mené par la droite BB'. Donc le point C est immobile, et par suite le mouvement élémentaire du solide est une rotation autour d'un axe passant par ce point (§ 151)-

2" Les deux droites AA', BB' peuvent coïncider; c'est ce qui arrive quand un point de la droite AA' a une trajectoire normale à celte droite ; on sait qu'alors tous les points de la droite AA' se déplacent normalement à la direction AA' (g 128). I* lieu des foyers des plans conduits par A/V est donc la droite AA' elle-même. Le mouvement élémentaire de la droite AA' est

D'UN SOLIDE LiniXK. 231

dans ce cas un mouvement hélicoïdal, qu'on peut décomposer en une rotation autour de la normale commune à la droite AA' et à sa position infiniment voisine, et une translation le long de cette normale commune.

3° Les foyers 0, 1, des plans P et Q, peuvent être tous deux infiniment éloignés, et alors la droite BB' passe à l'infini; dans ce cas, tous les points de la droite A A' ont des déplacements égaux et parallèles, et cette droite subit, par conséquent, un mouvement de translation.

Nous verrons tout à l'heure que le mouvement général d'un solide peut être décomposé dune infinité de manières, en deux rotations simultanées ; les droites conjuguées AA', BB', sont les axes de ces rotations.

Si, en effet, on donne au corps autour de BB' une rotation infiniment petite, chaque point de AA' décrit dans ce mouvement un élément de trajectoire normal au plan mené par ce point et Taxe BB' ; tandis qu'une rotation infiniment petite autour de AA' laisse le même point immobile : les plans normaux aux trajectoires des points de AA' passent donc tous par la droite BB'. De même, les plans normaux aux trajectoires des points de BB' passent tous par la droite AA'.

DÉCOMPOSITION DP MOUVEMENT ÉLÉMENTAIRE d'uH SOLIDE EN UNE TRANSLATION ET UNE ROTATION.

158. Soient A, B, C, D,... les positions à un certain moment des divers points du système. %.

Soient A', B', C, D',... les positions " *^ L

des mêmes points au bou t d'un temps dt B* *

très court. h<^J ^c

Le déplacement élémentaire de cha- »• „,

cun de ces points est représenté par >^^d

les droites infiniment petites AA', BB', CC, DD\.., lesquelles sont égales aux produits des vitesses respectives des points A, B, C, D... par le temps dl.

Pig. 151.

Appliquons à tous ces points, moins un, la théorie de la composition des vitesses. Nous pouvons regarder Ij ritaw du point B, proportionnelle 6 BB', comme décomposée o deux autres vitesses BIP, B"B', dont l'une, RB\ soit égale il parallèle a la vitesse AA' du point A. De môme, en menant CC" (gai et parallèle à AA', et joignant C'C, nous pouvons regarder la vitesse CC du point C comme la résultante dune vitesse égide et parallèle à celle du point A, et d'une seconde vitesse représentée en grandeur et en direction par CC. Faisons de même pour le point D et pour tous les autres points du système.

Il en résultera que le mouvement élémentaire du solide f col être décomposé en deux mouvements : 1" L'un, en vertu duquel tous les points du système décrivent dans le temps i/tdes chemins A A', BB", CC, BD",... égaux et parallèles; cepremiur mouvement est donc un mouvement de transhilion (g 125l;

2° Le second, en verlu duquel les points B, C, D..., amenés en B", C, B".. . par le premier mouvement, décrivent les chemins B" B', et C" C, B" D'... pendant que le point A, parvenu en A', reste fixe. Ce second mouvement élémentaire est le mouvement d'un solide invariable qui a un point A fixe; c'est donc une rotation infiniment petite autour d'un axe instantané PI" passant par le point A (g 151).

Nous avons donc ramené le mouvement élémentaire du solide à deux mouvements simples, une (ranslalion cl une relation, et comme nous pouvions faire celte décomposition e« parlant de tout autre point que le point A, on voit qu'elle est possible d'une infinité de manières.

Mais on peut, parmi toutes les décompositions possibles, en trouver une qui donne limage la plus simple du mtniTflMT1 du solide : on obtient alors le mouvement hélicoïdal.

HOEVEHI m hélicoïdal.

159. Bécomposons la translation commune AA' en déni translations, l'une parallèle à l'axe TP, l'autre perpciidifO-

Fig. 153.