HÉLICOÏDAL

latreàcelaxe; il surfil pour cela (fig. 155) d'abaisser du point A' une perpendiculaire A'A, sur l'axe PP', et de regarder la vilesse AA' comme la résultante des deux vitesses simultanées, AA, et A,A', puis de substituer de même aux vitesses BB", CC", DD",... les vitesses simultanées BB, et R,B", CC, et C,C", DD, et 0,0*,... respectivement égales el parallèles a AA, et A, A'. De cette manière, pour chaque point B, nous j»ourrons remplacer le contour BB" B', formé de deux côtés, par le contour BB, B'' B', qui est formé de trois eûtes, représentant trois vitesses simultanées.

Or remarquons que deux de ces côtés sont à angle droit sur l'axe PP', savoir le côté B"U(,qui est parallèle à A'A,, et le côté B"B', qui ett le chemin infiniment petit décrit par un poinl du solide en vertu d'une rotation autour de cet axe. Les deux vitesses B"B, etB'B' sont donc perpendiculaires à PP'; par suite leur plan est aussi perpendiculaire à PP'; il en est de même de la vitesse résultante, B, B', de ces deux vitesses* prises en particulier, cl de toutes les vitesses C, C, 1\D',... obtenues en composant la vitesse due a la rolution autour de PP' avec la vitesse égale et parallèle à A, A'.

Nous ramenons de celte manière le déplacement élémentaire du solide aux deux mouvements suivants :

1° L'ne translation, égale à AA, el parallèle à PP1;

2° Un mouvement en vertu duquel les divers points A, B, C, D...,reecivent simultanément des déplacements A, A', B, B', C, C, D, D\ tous parallèles à un même plan normal ù PP'. Ce mouvement élémentaire est doue une rotation instantanée autour d'un axe perpendiculaire ace plan, c'est-à-dire parallèle à PP', c'est-à-dire, enfin, parallèle à la translation.

On donne à cet axe particulier le nom d'axe instantané de rotation et de glissement ou, plus simplement, d'axe instantané glutant.

■IZi SIOLYEHEXt

Le mouvement élémentaire d'un solide mobile dans l'espace est donc le résultat d'une rotation infinimcnl petite autour d'un certain axe, le long duquel le solide subit en même temps une translation infiniment petite ; c'est, aiunm; nous l'avons déjà observé ig 156), un mouvement H) I déplacement que subit une vis mobile dans son écrou, ou. ni d'autres termes, c'est un mouvement hélîa.hln!.

160. De quelque manière qu'on décompose le mouvemen\ tlimenUÙre du solide en une rotation et une trans'ation , fait de ta rotation est toujours parallèle à vue seule et même dirictien.

Considérons, en effet, le mouvement éîérnenia;re de laserlion faite dans le solide par un plan N normal à Pf. Le mouvement il u solide est entièrement détlni par le mouvement élémentaire de celle section. On fait passer le corps de la position ABC à !a position A'P.'C par une V^ translation AA', qui n'altère pas le parnt-

, lélisme du plan mobile, el par une rola-

lion autour dePP'qui ne l'ai! ère pas da-

î vanlage, puisque l'axe PP' est, par hyp* Ibèse, normal à ce plan. H n'en serai! n» ise Pas ^e miimc Sl ''otl considérait le dé-

placement d'un plan oblique à l'axe. Il translation conserverai! encore le parallélisme de ce plan mais la rotation le déplacerai! langenlicllement à un cilneaV révolution ayant pour axe la droite PI".

On peut concevoir le solide coupé par une infinité de plans parallèles au plan N, dont le parallélisme se conserve pendant le mouvement élémentaire, tandis que tout aalrr plan cesse, après le déplacement, d'être parallèle à sa position première.

Qui 1 que soit le point du corps par lequel on fasse pas^r

l'axe de la rotalîon élémentaire, ce point est siiué dans H

des plans N, et l'axe de la rotation correspondante, étant

normal au plan N, est parallè'c à l'axe PP'.

La direction el la grandeur de la translation varient pt&

on délace l'axe de rolation. Mais la direction de l'axe dans roBpacd osl toujours la même. On peut ajouter que la vitesse angulaire autour de l'axe n'est pas non plus altérée; c'est ce que nous démontrerons plus lard.

Pourramenerle déplacement du solide au mouvement hélicoïdal, il suffit de faire passeï l'axe de rolalion PP' parle point 0 de l'un des plans N qui se déplace normalement à ce plan, c'està-dire par le foyer de ce plan {g 1 55) . La translation est alors représentée par le déplacement Où' de ce point ; elle est égale aux projections AA,, Bit,, sur la direction PP', des déplacements totaux, AA', BB', des divers points du solide; la translation 00' qui correspond au déplacement hélicoïdal, est donc moindre que toute translation AA', qui correspondrait à une autre décomposition quelconque. On voit en mémo temps qu'à toi autant donné le mouvement hélicoïdal d'un solide n'est possible que d'une seule manière.

161. Proposons-nous de construire l'axe de rotation glissant, et de trouver les valeurs de la vi- i lesse angulaire et de la vitesse de translation.

Prenons dans le solide trois points A, B, C, non en ligne droite; le mouvement de ces trois points suflit pour définir le mouvement du solide.

Considérons les vitesses V, V, V que possèdent respectivement ces trois points à un montent donné.

On les suppose connues en grandeur et en direction.

Par un point quelconque II de l'espace, menons trois droites II«. lli, lie, égales et parallèles aux vitesses V, V', Y* des points A, B, C. Nous pourrons toujours choisir ces points de manière que leurs vitesses ne soient pas parallèles à un même

pion*. Les trois poinls 0,6, c, détermineront un plan ; dupninl Il abaissons sur ce plan une perpendiculaire HM. cl joignons Mo, M/», Me. Nous pouvons décomposer la vitesse V = [la, eo deux vitesses simultanées HM, Mo; de même la vitesse Y' = Ni en deux vitesses HM, Mb, et V"=Be en deux vitesse* IIH, Me. Nous ramènerons de celte manière les vitesses des trois points A, D,C, à une composante commune HMel a Irois autres composiinlcs Ma, M/», Me, perpendiculaires a la première, et parallèles à un même plan abc, normal à HM. La droile HM sera la vitesse de translation du système mobile parallèlement^ Taxe instantané glissant. Nous déterminons, par celte construction, la direction de l'axe et la vitesse de la translation. 11 reste à trouver la position vraie de l'axe et la grandeur de la vitesse angulaire de la rotation.

On y parviendra en coupant le solide par un plan normal i la direction HM, cl en cherchant le foyer 0 de ce plan. Il suifil pour cela de prendre deux points du plan, et de mener les plans normaux a leurs trajectoires; ces deux plans normaux couperont le plan mobile au point 0 cherché. On mènera par le point 0 une normale 00' au plan mobile, ou une parallèle à 11M, et ce sera l'axe instantané glissant.

La vitesse de rotation du s.slèmeaulour del'axc cstégaleau

rapport '— de la composante Ma a la dislance Aa. En effet,

Ma est la vitesse linéaire du point A dans la rotation autour

Ma de 00', et -r- la vitesse angulaire commune à lous les rayons

Aa, Bj, CT.

Le problème est donc entièrement résolu.

La construction que nous venons de laire montre bien que le mouvement élémentaire d'un solide libre dans l'espace ne peut être ramené que d'une seule manière à la coexistence d'une translation et d'une rotation autour d'un, axe parallèle i I*

1 Autrement, touies tes vitesses des points du ?js(eme étant pnrïlléles * ,JD phii file, le mouvement du corps serait parallèle .< ce plan, et, au lieu du o gtm'ral, ou retrouverait un cas dî-jù examiné (§ 1 Jï).