CHAPITRE II

DE L'ACCÉLÉRATION DANS LE MOUVEMENT RELATIF ET DANS LE MOUVEMENT ÉPICYCLOÏDAL

184. La vitesse absolue d'un point dont le mouvement est rapporté à des axes mobiles est, comme nous lavons vu (§67), la résultante de la vitesse relative du point par rapport aux axes, et de la vitesse d'entraînement qu'aurait le point s'il était lié aux axes pendant un instant infiniment court ; cette décomposition est toujours vraie, quel que soit le mouvement d'entraînement.

11 n'en est pas de même de l'accélération, et, sauf certains cas particuliers que nous étudierons en détail, il n'est pas vrai de dire que l'accélération totale du mouvement absolu d'un point mobile soit la résultante de deux accélérations, dont Tune corresponde au mouvement relatif, l'autre au mouvement du point lié aux axes mobiles et entraîné par eux ; pour trouver l'accélération totale du mouvement absolu, il faut composer ensemble trois accélérations, savoir : les deux accélérations qui viennent d'être indiquées, et une troisième accélération, dite complémentaire, que nous allons définir, et qui dépend de la nature du mouvement d'entraînement.

Les axes mobiles forment un système invariable, et par suite (g 158) le déplacement élémentaire qu'ils subissent peut être décomposé d'une infinité de manières en une translation et une rotation. Hais à un certain instant le point mobile M coïncide avec un point géométrique, A, du système de compacte oouifiios. 18

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raison, et le mouvement d'entraînement fait passer ce point géométrique de A en A'; par suite, le mouvement élémentaire d'entraînement du système de comparaison est décomposable en une translation AA', et une rotation autour d'un axe instantané PP', qu'on peut regarder comme passant par le point A' fiS. 483).

Le mouvement d'entraînement du point A, lié aux axes mobiles, fait décrire à ce point une certaine trajectoire AC; au bout d'un temps infiniment petit, dt, après le passage du point M en A, le point A est parvenu en A'. Menons en A h langente AB à la trajectoire AC, et prenons AB = t»/ft, en appelant ve la vitesse d'entraînement. Joignons BA'; nous savons (§ 91) que BA' est égala

\jedl*,

je étant l'accélération totale d'entraînement.

Pendant ce temps, le point mobile M, qui était en A à l'origine du temps dt, est parvenu en M' sur sa trajectoire relative AD.

Désignons par vr et jr la vitesse et l'accélération du mouvement relatif, puis prenons sur la tangente à la trajectoire relative une longueur AN = vrdl9 joignons KM', et mms aurons KM' =±jrdt\ Nous trouvons donc sur la figure la vitesse et l'accélération d'entraînement, la vitesse et l'accélération relatives. Il reste à trouver la vitesse et l'accélération absolues.

La trajectoire relalivc AD subitle mouvement d'entraînement; elle se transporte donc, pendant le temps df, de AD dans une certaine position A'D", et ce mouvement peut être décomposé en deux autres : un mouvement de translation, parallèle à AÀ', qui amènera la trajectoire relative de la position AD à la position A'D' ; et un mouvement de rotation autour de Taxe PP1, qui la fera passer de la position A'D' à la position A'D*, en faisant décrire à chaque point S de la trajectoire un arc de cercle

Mk^/N

Yi^. 1S3.

DE CORÏOLIS. 275

infiniment petit, SU, dont le centre est quelque part en I sur l'axe PP. Si nous prenons A'H=A'S = AM', le point II sera, la position absolue du point mobile M au bout du temps dt; le point S serait la position vraie du mobile M au bout de ce temps si la rolation autour de l'axe PP' n'existait pas.

Achevons le parallélogramme NABL; les côtés AN, AB, étant respectivement égaux à Vrdt et tyft, la diagonale AL, résultante de ces deux déplacements, sera égale à Vdt, Y désignant la vitesse absolue du mobile M. Joignant donc LH, et appelant j l'accélération totale du mouvement absolu, nous aurons UL=±jdl\

La droite M'S est égale et parallèle à la droite AA'; sur les droites M'S et M'N, construisons un parallélogramme M'NRS; nous aurons RS=M'N, et NR sera égal et parallèle à AA',

Joignons enfin RA' et RL ; la figure SRA' n'est autre que la figure M'NA transportée parallèlement à elle-même d'une quantité égale à AA'. Donc RA' est égal et parallèle à AN, et par suite à BL; la figure LBA'R est un parallélogramme, et LR est aussi égal et parallèle à BA'. Le contour polygonal LRSH se compose ainsi de trois côtés, dont les deux premiers LR, RS, sont respectivement égaux et parallèles à BA' et à NM', c'est-àdire aux lignes qui représentent en direction et en grandeur, au facteur { dt1 près, l'accélération totale dans le mouvement d'entraînement et dans le mouvement relatif. Le troisième côté SH est un élément de circonférence, normal au plan HAÏ* qui passe par la trajectoire relative et par l'axe instantané ; il a pour longueur III X cocii, en appelant o> la vitesse angulaire du système de comparaison autour de l'axe PP;; l'élément III peut être regardé comme la projection de AH sur un plan perpendiculaire à PP', et l'élément A'H, espace décrit par le point mobile pendant le temps dt sur sa trajectoire relative, est, à la limite, égal au produit vTdt. Appelons a l'angle formé par Taxe instantané PP7 avec la vitesse relative. La longueur 1H sera égale à M* x sin<x, et par suite

SU = Vr dt sin a X »dt = uvr sin a dl\

Le côté LU, qui ferme le contour, est égal au produit \jdt*. Divisons par J dP les quatre cotes du quadrilatère LRSU. Cela revient à y substituer une ligure semblable, L'R'S'll', dont les