DE L ACCÉLÉRATION COMPLÉMENTAIRE
l'accélération complémentaire est la résultante des mn accélérations complémentaires obtenues en associant successivement chaque composante de u> à chaque composante de v.
Nous pouvons vérifier celte proposition dons le cas particulier que nous venons de Irai 1er; décomposons la rotation m en trois rotations j>, q, r, parallèles aux axes, et la vitesse relative v en trois vitesses »„ v„ v„ suivant les mêmes axes : nous formerons les neuf accélérations complémentaires suivantes par la combinaison de chacune des trois rotations avec chacune des trois vitesses relatives :
il' ci ri, accélération nulle; I' cl i',. -f- Ipi-f, suivant l'aie 01 ;
Îij el ■*, —2gr,, suivant l'aie 01; </ et i>. a cet 1 1 in! i un nulle; ç et h, ■+ 9f»j, suivant laie OX;
rt i',, accélérai Ion nulle.
Faisant la somme algébrique des accélérations composantes dirigées suivant un même axe, on parvient aux composantes de l'accélération complémentaire cherchée, et l'on retrouve les expressions déjà obtenues.
Le théorème est donc démontré dans le cas parliculier de la décomposition de la rotation cl de lu vitesse relative suivant trois mêmes axes rectangulaires. Il est facile d'étendre la démonstration au cas général.
Décomposons suivant trois axes rectangulaires chacune des rotations w', nr\..., w'"1, et chacune des vitesses relatives »', f",..., p'". Soient
COMPOSITION
les composantes des rotations, et
les composantes des vitesses.
La combinaison de la rotation a>ft) avec la vitesse fW nous donnera suivant l'axe OZ une accélération complémentaire
La somme algébrique de toutes ces accélérations composantes est représentée par la double somme
Or faisons d'abord varier l'indice fc, en conservant à l'indice tune valeur constante; il vient pour la première sommation :
Il faut ensuite faire varier l'indice i de 1 à n, et ajouter toutes les expressions résultantes, ce qui donne en définitive
<=it
c'est-à-dire le résultat même auquel on serait parvenu en appliquant la formule aux composantes
de la rotation, et aux composantes
[,/+*■ + ... W;1] et K+v— +*JJ]
DES ACCÊl.ÉllATllINS COMnÉMEMATRES. 583
de la vitesse relative, estimées chacune suivant les axes coordonnés. 1! est donc indifférent, au point de vue du résultat final, de considérer la rotation totale <■> et la vitesse relative totale v, ou bien les coin posantes de la rotation et les composantes de la vitesse, pourvu qu'on n'omette aucune conibi- HUOD et qu'on fasse la composition des résultais partiels obtenus.
ArrucATioss du théorème; de comous.
188. L'accélération j du mouvement absolu étant la résultante des trois accélérations j„j, et j,, on peut dire aussi que l'accélération jf du mouvement relatif est la résultante de trois accélérations, savoir l'accélération; du mouvement absolu, et les accélérations j, et j, changées de sens; pour trouver l'accélération du mouvement relatif d'un point, connaissant l'accélération du mouvement absolu, il suffira donc de composer cette accélération avec l'accélération d'entraînement prise en sens contraire, et avec l'accélération complémentaire également changée de sens. On donne à l'accélération complémentaire ainsi changée de sens le nom d'accélération centrifuge composée.
Un sait déjà que l'accélération corn plein enta irejc es! nulle lorsque le mouvement d'entraînement est une translation, parce qu'alors w = 0. Lorsque le mouvement d'entraînement est rectilignc et uniforme, je = 0 et alors j, ne diffère pas de;; l'accélération absolue est identique à l'accélération relative, bien que la vitesse relative diffère de la vitesse absolue.
Celle remarque permet de résoudre très simplement certains problèmes. Prenons pour exemple la recherche de l'accélération totale du mouvement d'un point appartenant à un cercle qui roule uniformément sur une droite fixe, et pour simplifier, supposons que ce point soit situé sur la circonférence du cercle mobile. Soit 0 le centre, OA le rayon du cercle et Ll/la droite fixe; soit D le point dont on demande
