DANS LE MOUVEMENT EPICYCLOÏDAL
indiqué sur la figure. Les deux points A', A't sont, dans l'état primitif de la figure , à une distance infiniment petite du second ordre, et nous pouvons les regarder comme déjà confondus en un seul. Soil AA' = ds; la vitesse du point
de contact . le long des deux courbes roulantes sera -r->
et par suite (§ 143) la vitesse u> de la rotation autour de A est donnée par l'équation
en appelant R et IV les rayons de courbure des courbes PQ et RS au point A.
Posons d "+" g> = if > K étant une nouvelle longueur déterminée par cette relation. Mous aurons
ds
La vitesse v du point M est, si Ton appelle p la distance AM, égale au produit pw, et elle est dirigée perpendiculairement à la droite AM, normale au lieu décrit par ce point M. Au bout du temps dt, le point M vient en M', en parcourant Parc MM'=pa)df. La droite M' A' sera la nouvelle normale à la courbe décrite par le point mobile, et par suite, si Ton prolonge HA, M'A', le point C où se coupent ces deux normales infini-* ment voisines, sera le centre de courbure de la courbe MM'; la distance MC = p sera son rayon de courbure.
Cela posé, l'accélération totale du point M se décompose en une accélération tangentielle, dirigée suivant MM', et égale
An
i t. » et une accélération normale dirigée suivant MG et égale
pds
Mais nous avons vz^wur^L-.
1 Kai
la diflercAtidle dp s'obtient svr k fiçureen projetant le point A ai A* sor b direetiM OT. Car AY ed £gil â p +^pf et Tire JDT est normal* ATT. te a donc
^p=l^àL«=.
« étant l'angle de la mme A3\ On eo déduit
direction AM avec la normale corn-
suix=^xK
Prenons sur la normale commune AS* une quantité AO = K ;
abaissons sur Ml la perpendiculaire 00, qui sera égale à
K sin a. L'accélération tangentielle sera égale à «* x HO.
r* Pour obtenir 1 accélération centripète — , il faut calculer
d'abord la valeur de p = CM.
Or les deux triangles CAA', CM M', sont semblables et donnent la proportion
CA kV CM — MM'*
ou bien
et par suite,
p — p (iscOSa
p pudl
p pùtdt — Jtcosx
p j)(udt *
ce qui conduit, en définitive, à l'équation
t ds p*<*dt V X K p«
r |W/ — c/fCOSa */« , p — Kcosa
ds , p -=v — a* cos a
DANS U MOUVEMENT ÉPICYCLOÏDÀL. 903
Celle équation fail connaître le rayon de courbure de l'épi- CïcloïJe ilécrite par le poinl M. On en déduit
Maîs Kcoss=AII,cl p— Kcos a = MU. L'accélération centripète du point M est donc égale à w' xMli.
Les deux composantes de l'accélération totale du point mobile sont donc proportionnelles à Mil et à HO; donc l'accélération totale cstdirigèe de M vers 0, et elleesl égale a u* x MO.
Au point de vue des accélérations, tout se passe pendant le temps rfr, comme si un cercle de rayon K roulait sur la tangente a la courbe fixe au point A, en entraînant le point M (8 188} ; ce cercle est ce qu'on appelle le cercle déroulement.
L'accélération centripète est nulle, et le rayon de courbure es) infini, pour les points pourlesquelsonap = Kcosa, c'està-dire pour tous les points de la circonférence décrite sur A0 comme diamètre. On donne à cette circonlérence le nom de circonférence des inflexions.
i95. L'équation p= T, montre que la dislance
1 r p — Kcos a *
MA =3 p est moyenne proportionnelle entre MG = p et
MII = p — Kcosa.
De là résulte la construction suivante du centre de courbure C. Joignons MO, et élevons en A une perpendiculaire AI sur la droite MA. Soit 1 le poinl de rencontre de ces deux directions. Parce point menons la droite IC parallèle à la droite NY, normale commune aux deux courbes. Lecenlrc de courbure C sera à la rencontre des droites IC et MA.
Eu effet, les parallèles 110, AI, et les parallèles AO, CI nous donnent les proportions :
*M GE5TRB BE GOTBBCBE
et en multipliant membre à membre,
■cxin
