CAS GÉNÉRAL
197. Nous venons de chercher l'accélération dans le moutement épicycloidal, mais seulement dans le cas particulier où la vitesse angulaire autour du centre instantané de rotation est constante. Nous allons reprendre la question en supposant que cette vitesse angulaire soit variable.
Soit 0 le centre instantané autour duquel, à un instant t donné, pivote une figure plane; soit <* sa vitesse angulaire au même instant.
Soit (ï le centre instantané autour duquel tourne la même
figure plane à l'instant t -+- rfl, et soit a) -t- dta sa nouvelle vitesse angulaire.
Prenons pour axe des x la direction 00' prolongée, et pour aie des y la perpendiculaire élevée à cette direction au point 0. La droite OX sera la tangente au pointu à la courbe fixe AB, lieu des centres instantanés sur le plan, et à la courbe roulante A'B', lieu des centres instantanés rapportés à la figure mobile.
Posons 00= (h; le point de contact des deux courbes parcourt Tare iz dans le temps dt. Si donc R et R' sont les rayons de courbure des courbes AB et A'B', on aura l'équation
Soit M un point de la figure mobile, prise dans la position où elle est tangente en 0 à la courbe fixe. Ce point M décrit une épicycloïde, et on demande l'accélération totale de ce point. Pour définir sa position, nous donnerons l'angle Y0M = a, cl la longueur 0M=]j.
Kig. 196.
DANS LE MOUVEMENT ÉPICYCLOÏDàL. ™ .
A Tinstant t> le point M est animé d'une vitesse normale à OM et égale à pw; en vertu de cette vitesse, le point M parcourt dans le temps dt un arc MM'=pci>rff. Projetons cet arc sur les axes OX et OY, et divisons par le temps dt\ nous au- ' rons les composantes de la vitesse, savoir :
vx = patcosa et v9 = — petsina.
Au bout du temps dt9 le centre de rotation s'est transporté en 0', et le point M' reçoit un déplacement perpendiculaire à OTO', avec une vitesse angulaire égale à co + du*. Mais nous pouvons regarder (§ 167) la rotation u> -+- rfw autour de (Y y comme la résultante d'une rotation o> + du>, autour du point 0, et d'une translation dans la direction OY , égale au produit (o)-f-do)) X 00', c'est-à-dire égale à wds, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au premier. Le point M' est donc animé de deux vitesses : l'une, M'ro, normale à OM', a pour projections sur les axes p (u> -+- dw) cos (a + da), et — p (ci) 4- rfo)) sin (a -f- dx) ; l'autre, M'm', parallèle à OY, a pour valeur coda. On aura donc, en appelant v'„ v\ les composantes de la nouvelle vitesse,
v'x = p [ù* + dot) cos (et 4- dx)t
v*i = <ad* — p (w + du) sin (a -f- du),
La distance p reste la même pour les deux points M et M', car, MM' étant infiniment petit et perpendiculaire à OM, les deux droites OM, OM' diffèrent d'un infiniment petit du second ordre, qui doit être supprimé.
Développons, supprimons les termes du second ordre, et observons que da= tùdt; il vient
v'x = pot COSa 4- pdw COS a — /?«fsin a dt,
v'g -= uda — pu sin oc — pdù» sin a — pu!* cos a dt .
Les composantes parallèles aux axes de l'accélération totale sont, par conséquent,
f'x — Vs dût m .
;* = • — -■£ — =p cosaX -37- — jM^sinc,
tfy — t>l d* ^^dbè m
Jl = — 5T~ = w dt -J,8in*x Ji — P»****-
L'accélération du point M peut donc être décomposée en Irois accélérations : une dirigée de M vers 0, et égale à pu1 ;
nu
une dirigée tangentiellement à Tare MM', et égale à p -gS une
troisième dirigée parallèlement à OY, et égale à <■> -n. Les deux
premières correspondent au mouvement de rotation qui s'effectue autour de 0 avec une vitesse angulaire variant de « à û -f- do>; la troisième, au mouvement de translation qui, composé avec la rotation <* + du , transporte cette rotation du centre 0 au centre (Y.
Cette troisième accélération u -r. peut se décomposer aussi
suivant la normale MO, et suivant la tangente MM', et l'on aura, en appelant j„ et jT les deux composantes de l'accélération totale,
dùè di .
LIEUX GÉOMÉTRIQUES DES POINTS DONT L'ACCÉLÉRATION SATISFAIT A CERTAINES CONDITIONS DONNÉES. — CENTRE DES ACCÉLÉRATIONS.
198. Les points géométriques de la figure mobile sont définis dans le paragraphe précédent parles coordonnées polaires p et a; on peut aussi les rapporter aux axes rectangulaires OX, OY, en remplaçant p sin a par x, et p cos a par y. Les accélérations projetées sur les axes deviennent alors
dut 9
ai au ,
Jy = »di'-xM'-<»t!i-
1° Cherchons d'abord le lieu des points du plan qui à l'instant t ont une môme accélération totale j. Nous n'avons qu'à élever au carré les équations (1), et à ajouter; il viendra
