DANS LE MOUVEMENT ÊPICYCLOÏDAL
limaçon obtenu en prolongeant les cordes ON d'une quantité constante NQ.
Fig. 107.
Les cercles OC, 0B représentent les lieux des points pour lesquels jn et jT sont respectivement nulles ; le premier, OC, est donc la circonférence des inflexions, le long de laquelle jn = 0 ; son diamètre OC ne dépend pas des circonstances du mouvement de la figure mobile; car il est égal à - -77, c'est-à-dire
à -z 7, en appelant R et R' les rayons de courbure des
R+R' courbes AB, ATJ' (g 194). L'autre cercle OB a pour diamètre
dt (O1
dt \dt) R^R'
, et dépend par conséquent du mouve-
ment donné à la courbe AB'.
Ces deux cercles se coupent en deux points, le point 0 et un autre point S. Comme Tune des composantes, jr ou jn, est nulle pour les points appartenant à l'un des cercles, elles sont nulles à la fois aux points communs aux deux circonférences, et on pourrait en conclure que l'accélération totale, résultante de jT et de jN, est nulle aux deux points 0 et S. La conclusion est exacte pour le point S; mais elle est fausse pour le point 0. Au point S, en effet, le rayon OS est la direc-
SOI CESTOB
lioo commune prise par des rayons menés du point. 0 i des points infiniment voisins du point S, situés respectivement sur les circonférences OB et OC En ce point, par conséquent, la décomposition de l'accélération totale j se fait suivant la direction SO et une direction perpendiculaire, et dire que les composantes sont nulles suivant ces deux directions, c est dire que l'accélération j est nulle elle-même. 11 en est autrement au point 0. Considérons un point M' infiniment voisin du point 0 sur le cercle OC; l'accélération totale de ce point se réduira à sa composante tangcntielle j, , normale à OM'; à la limite, cette composante sera parallèle à Taxe OY. De même, considérons un point M* sur le cercle OB ; son accélération se réduit à la composante centripète jH, qui, à la limite, est aussi parallèle à Taxe OY. L'accélération du point 0 est en
définitive dirigée suivant OY, et égale à w-tj, comme l'indiquent
les formules qui donnent jx et jy , et les deux cercles OB, OC peuvent se couper en ce point, en rendant nulle Tune des deux composantes;,, jT, sans rendre pour cela l'accélération totale j égale à zéro, parce que la décomposition de celte accélération j ne se fait plus dans tous les cas suivant les mômes directions.
11 n'y a donc qu'un seul point, le point S, dont l'accélération totale soit nulle. Ce point est le centre des accélérations. Les trois points C, S, B sont en ligne droite. La direction OS, axe radical des deux cercles OB, iC, est le lieu des points
pour lesquels jx = 0. La droite CB est le lieu des points pour lesquels;,—0.
199. Nous terminerons en donnant une propriété mécanique du point S.
Soient x*, y', ses coordonnées rapportées aux axes OX. OY. et
Fie. 108. !
soient 5, r, les coordonnées d'un point M rapportées à des axes SX', S Y', menés par le point S
parallèlement à OX et à OY. Fous aurons les équations x = Ç-Hx/f y = tq -f- y*, qui nous permettront de passer des axes primitifs aux nouveaux axes; faisant cette transformation, il viendra pour les composantes j„ j„ de l'accélération totale :
en observant que la substitution de x' et \f à x et y dans les équations (1) donne 0 pour js et pour ;f. Rapportées aux nouveaux axes, les équations (1) perdent ainsi le terme enw-p
Passons aux coordonnées polaires en posant MSY'=<z' et SM =p'. H viendra
Donc
]%=ift-j- COS a' — p'ai8 Sin a,
jj = — p* --- bin a' — J)7** COS ec' .
Sous cette forme on reconnaît que l'accélération totale peut se décomposer en une composante p'u>% dirigée suivant MS,
et une composante p'-jr» dirigée suivant MT', perpendiculaire
à MS ; c'est-à-dire que les accélérations des divers points de la figure sont les mêmes que si la figure entière tournait autour du point S, avec les vitesses angulaires successives o> et u> 4- du.
On pourrait appeler le point 0 le centre des vitesses, car les vitesses des points M sont distribuées comme si la figure tournait autour du point U. Les accélérations sont distribuées comme si elle lournait autour du point S, ce qui justifie le nom de centre des accélérations.
