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La même construction donne la tangente au lieu des centres instantanés de rotation successifs, car ce lieu touche le cercle des inflexions au point 0.

l£C. C0LL16X0S.

T1IÊ0RÊME

THÉORÈME DE BOBILUER1.

201 . Lorsque deux côtés d'un triangle glissent respectivement sur deux circonférences fixes, le troisième côté enveloppe une troisième circonférence.

Soit ABC le triangle mobile ; $ et y les deux cercles donnés; le côté AB touche constamment la circonférence y ; le côté AC

touche la circonférence p.

Les points e et b, par lesquels chacune des droites AB, AC, touche son enveloppe, sont les pieds des perpendiculaires abaissées du centre instantané sur ces droites elles-mêmes.

On aura donc le centre instantané de rotation, 0, en cherchant l'intersection Fig. soi. des perpendiculaires cO,

60, élevées en c et b sur les côtés AB, AC ; ces perpendiculaires passent par les centres fixes-/ et g des cercles donnés. L'angle ^00 étant le supplément de l'angle constant BAC, le point 0 appartient à un cercle passant par les points y et ?. Ce cercle, qu'on peut construire, est donc le lieu des centres instantanés de rotation successifs du triangle.

Pour avoir le point a par lequel le troisième côté BC touche son enveloppe, il suffit d'abaisser du point 0 une perpendiculaire Oa sur ce côté. Cette perpendiculaire passe par le centre de courbure, a, de l'enveloppe cherchée, point dont nous ignorons encore la position. Dans le déplacement infiniment petit du triangle, tout se passe comme si le côté BC tournait

1 Cours de géométrie pour les écoles d'arts et métiers.

DE BOBILLIER. 507

iangentiellement à un cercle ayant pour centre ce point a. Dans ce mouvement élémentaire, le centre instantané de rotation de la figure se déplace le long du cercle pOy ; de plus, les angles £0a, DCA, dont les côtés sont respectivement perpendiculaires, sont égaux ou supplémentaires, et par conséquent l'angle 0O<z est connu ; le point 0 est donc aussi assujetti à se mouvoir sur un cercle passant par les trois points 0, a, ($ ; le mouvement du point 0 serait donc impossible, à moins que ces deux cercles ne coïncident, ce qui exige que le point a soit situé à Tinterseclion du cercle 0-fi avec la perpendiculaire Oa prolongée.

Il en résulte que le point a est fixe ; d'abord il est situé sur le cercle fixe 0$ ; ensuite les arcs (3a, y* sont constants comme correspondant sur ce cercle à des angles inscrits constants yOa, pOa. On peut ajouter que le triangle qu'on obtiendrait en joignant les points a, 0, y est semblable au triangle donné.

L'enveloppe du côté BC est donc un cercle MN décrit du point a comme centre, avec aa pour rayon.

Si les côtés AB, AG étaient assujettis à glisser sur des courbes quelconques, on pourrait, pendant un intervalle de temps infiniment petit, substituer à ces courbes leurs cercles oscillateurs aux points c et b, et la construction du point <x ferait connaître le centre de courbure de l'enveloppe du troisième côtéBC.

La normale au lieu décrit par un sommet quelconque B du triangle mobile, s'obtiendra en joignant OB. Or les angles c et a du qua- . drilatère OaBc étant droits, ce quadrilatère est inscriptible, et OB est le diamètre du cercle circonscrit. Le cercle circonscrit au quadrilatère OaBc est donc tangent en B au lieu décrit par le point B. On en déduit la méthode suivante pour mener une tangente au lieu Fig. «02. décrit par le sommet, B, d'un angle constant dont les côtés Bc, Ba, glissent sur des courbes don-

3t8 AGCÊLÊRATI05 DAXS LE lOtVEMEKT

nées mn% pq (fig. 202) . Il suffit de joindre les points de contacta et c, et de décrire sur la droite ae un segment capable de l'angle donné B. Le cercle aSe sera tangent au lieu décrit par le sommet B.

COMPOSANTES DE LA VITESSE D*C3 P0I5T d'uR CORPS SOLIDE ASSCJETT1 A T0CB3ER ACTOCB d'w PORT FIXE.

Fig. 203.

202. Soit 0 le point fixe autour duquel tourne le corps ; 0A Taxe instantané de rotation, autour duquel il est animé, au bout du temps t, d'une vitesse angulaire c*. Nous pouvons décomposer la rotation w en trois rotations p, ç, r, autour de trois axes rectangulaires OX , OY, OZ, menés par le point 0. Nous nous proposons de chercher les projections sur les axes, de la vitesse linéaire d'un point M , lié invariablement au corps. Ce point décrit dans le temps dt, autour de 0A, un arc élémentaire MM' égal à MPx udt (MP étant la distance du point M à Taxe instantané), dans une direction perpendiculaire au plan UAM. Ce sont les composantes suivant les axes de cet arc infiniment petit, qui, divisées par dt} nous donneront les vitesses

cherchées -v , -^, -t-. La méthode la plus simple consiste à

chercher successivement les variations produites sur les coordonnées x, y, % du point M, par les rotations composantes p, q, r, considérées seules, et à additionner algébriquement les résultats partiels obtenus.

C'est cette méthode que nous avons suivie §1 73, quand nous supposions le corps animé à la fois des translations u, r, r, parallèlement aux axes, et des rotations p, 9, r, autour des axes; le résultat peut donc se déduire des équations (1) deli

ÊPICYCLOlDAL SPIIÉIUQUE. 509

page 256, en y faisant nulles les trois vitesses u, v, w ; il viendra, en divisant pardf,

dx dz

équations qui se transforment Tune dans l'autre à l'aide d'une permutation tournante, en changeant simultanément x en y, j/enz, zenx, etpenç, q enr, renp.

Comme les trois équations ainsi obtenues ont une grande importance dans la théorie de la rotation des corps solides, nous les établirons d'une seconde manière, plus directe, en ce qu'elle n'emprunte rien à la théorie de la décomposition des rotations et des mouvements.

Convenons de représenter la rotation o> autour de OA, par une longueur portée sur OA à partir du point 0 ; projetons cette longueur sur les axes, et soient p, 9, r, les longueurs des projections. La direction de Taxe OA sera définie par les cosinus des angles AOX, AOY, AOZ, c'est-à-dire par les trois

rapports -, -, -; la somme des carrés de ces rapports est

égale à l'unité. Soient x, y, z, les coordonnées d'un point M du corps solide dans sa position primitive ; x -\- dx, y -H dy, % -f- dzy les coordonnées de la seconde position, M', du même point, au bout du temps dt. Nous remarquerons que la rotation autour de OA ne change ni la distance du point M au point 0, ni l'angle que fait cette distance avec Taxe de rotation OA.

La distance du point M à l'origine est égale à <Jx*+y*-\-z* ; et comme elle reste la même quand le point M passe en M', sa différentielle est nulle, ce qui donne la relation

II) *dz+ydy + *b=0.

L'angle Y de la direction OM avec l'axe OA a pour cosinus