ACCÉLÉRATION DANS LE ■OCYEMETT

la somme des produits des cosinus des angles que ces deux directions font avec les axes :

COS> = '-X , — h*-X — * H — X

L'angle Y ne variant pas quand x, y, s, deviennent *+b, y-hdy, z+d%, on aura de même en différentiant

(2) J***+ qdy-\-r<h=0.

Cette dernière équation s'établirait plus vite en exprimant que lés directions MM' et OA, définies par leurs projection respectives, dx, dy, <b, et p, q, r, sont rectangulaires.

Des équations (1) et (2) on déduit, en éliminant successivement dz, dxy dy, la suite des rapports égaux :

3 dx = *fy = (h

{ } qz — ry rx—ps py — qx '

et la question est ramenée à déterminer la valeur commune de ces trois rapports. Pour cela, élevons-les au carré, puis ajoutons les trois fractions terme à terme, et extrayons la racine carrée des termes résultants ; l'égalité des rapports ne sera pas troublée, et Ton aura par conséquent

... dx dy dz \/dx*+dy*+dz*

qz— ry rx—pz py—qx ^,fy)*+(rjB|W)i + (|V fji

Le numérateur, pris positivement, représente Tare MM', Quant au dénominateur, il peut se transformer de la manière suivante. On a identiquement *

l?» - ry)*+[rx ■— ;w)*+(/>y— qx)*

1 Cette identité montre comment le produit de la somme de trois curés p* la somme de trois carrés peut se mettre sous la forme d'une somme de quati* carres.

ÊPICYCLOÏDAL SPHÉKIQUE. 54 1

Abstraction faite du signe, la racine carrée indiquée est égale à

fa{x*+y^z*)-{î>x-^+rz)*=«iJ*t+yt+*t>< ^l-(^^^^)f

Le rapport est donc égal en valeur absolue à la fraction r, c'est-à-dire 6 A.

wxMP1

Mais il reste à discuter le signe avec lequel dt doit être pris. On résoudra cette dernière question en suivant la marche indiquée dans le g 186 pour un problème tout à fait semblable. Nous appliquerons les formules à des cas particuliers où le signe de dt soit facile à déterminer a priori. La loi de continuité exige qu'on conserve cette détermination. Supposons par exemple que Taxe OA coïncide avec OZ ; les quantités p et q seront nulles, et la quantité r sera égale à a>. Si de plus o> est positif, celte rotation s'opéra nt autour de OZ, de X vers Z, fera croître l'ordonnée y de tout point M qui se projette dans l'angle ZOX, et décroître son abscisse x; donc les formules, en y faisant x, y et r positifs, en même temps que p et q nuls, doivent donner dy positif et dx négatif; ces hypothèses particulières, introduites dans les équations (3), les réduisent à

dx dy dz

— ry rx 0 *

dx du

De là résulte que dz est nul, et que les rapports et —

^ rr — ry rx

sont tous deux positifs. Aussi devra-t-on prendre positivement la valeur commune , dt, des trois rapports, ce qui ramène les équations (4) à la forme définitive :

!dx=[qz^-ry)dt% dy = (rx-pz)dt, d» = (py — qx)dt.

Nulle part dans tout ce raisonnement on n'a considéré les quantités p, 9, r comme des rotations qui s'effectuent autour des