ACCÉLÉRATION DANS LE MOUTKIBKT

Fig. 105.

Pour simplifier ces formules, supposons que nous prenions pour axe des % la droite OA, axe instantané du solide à l'instant f , et pour plan des ZOX le plan ÀOA', plan tangent commun aux deux cAnes, dont l'on est fixe dans l'espace, et dontPautre, mobile avec le solide, l'entraîne

dans son roulement sur le premier. On aura à l'instant f

La rotation <*, supposée positive, s'opère de X vers T.

A l'instant t -f- cft, la rotation <o -f- rfw s'opère autour de Taxe OA', qui fait un angle AOA' = dv avec Taxe OA ; décomposons cette rotation autour des axes OX, OY, OZ; nous aurons

p + dp = [ùi-\- rfw)cos l q -f d* J, q+ dq = 0, r-f- dr = (&»4-rfw)cosd»,

ou, en retranchant les premières équations et en supprimant les infiniment petits du second ordre,

«//>=— udv, dq = 0, dr = du.

Substituons ces valeurs dans les équations (4), il vient pour les équations simplifiées

d& m do» , di ,

dt dt

dt

ÉPICYCLOlDAL SPHÊRIQUB. 515

Au lieu d'employer les coordonnées rectangles, on peut définir la position des points du solide à l'aide des coordonnées polaires (§ 65) .Du pointO comme centre, décrivons une sphère avec un rayon OM arbitraire. La position du point M sera définie sur cette surface par les deux angles ZOM = 6 et XON =9.

Pour exprimer les coordonnées x, y, z, en fonction des nouvelles coordonnées R = OM, 6 et ?, on aura les équations :

x = R sîn 0 cos f, y = Rsin0sin?, a = R cos 0.

Le corps tourne autour du point 0; la distance OM reste donc constante pour un même point dans toute la suite du mouvement. Décomposons l'accélération totale du point M suivant les trois directions rectangulaires formées par le rayon MO, par la tangente MT à Parc ZN, et par la tangente MT' au

Fis. 200.

parallèle qui serait décrit sur la sphère par le point M, dans sa rotation autour de OZ. Par le point 0, menons des parallèles aux droites MT, MT'. La droite OP, parallèle à MT, sera située dans le plan ZON, et fera avec OZ un angle égal au complément de 6. La droite OR, parallèle à MT', sera située dans le plan XOY, et fera un angle droit avec la droite ON.

316 ACCÉLÉRATION DAKS LE MOUÎEIEST

Cherchons les cosinus des angles de ces trois droites avec les aies coordonnés. On trouvera les neuf relations

cosM0I=a»fsm9, a»POI=— cotfcosf, cosROX = — sin?, oo6MOT=smf sn9, a»POY=— suif cosf, cosROY=cosf, cos!OZ = oos9t 006P0Z=tin9v cosR0Z=0.

Désignons par j«, i, jr , les composantes de l'accélération projetée sur les directions OM, OP, OR ; nous aurons

>.=>»cosM0ï4->fcosM0T4-y»cosM0I===y»cO5fsin»H-yftinf8in#+y,c0il

De même

U s» — jsàn f +>f cos f.

Remplaçons, dans ces équations, i„jv ;,, par leurs valeurs, et, dans ces valeurs, x, y, s par leurs expressions en R, 0 et f . Nous aurons en définitive

jm=— Raisin* fi.

dt

j, = Ra»*$in0cos0 — Ru ^sinf,

jr= R jr- sin 6-|- R» — cos ? cos 0.

Les accélérations sont positives quand elles sont dirigées de 0 vers M, de 0 vers P, de 0 vers R. Le signe — devant la première indique une composante dirigée vers le point fixe 0. On peut encore décomposer l'accélération totale suivant les directions ML, parallèle à OZ, MS, perpendiculaire abaissée du point M sur l'arc 0Zf et MT', tangente à l'élément décrit par le point M dans sa rotation instantanée autour de Taxe OZ. La première composante est égale à jt ; la troisième, à jr ; quant à la seconde, on l'obtiendra, en ajoutant les composantes de j. et;,, projetées sur la droite MS, et on trouvera

ds

j, = Rai» sin 0 — Rw -jy sin f cos 0.

Cette composante est comptée positivement dans la direction centripète MS.

ÉPICYCLOlDAL SPHÉRIQUE. 317

En égalant successivement jm9 jp , . . . à des constantes, on aura pour une valeur donnée de R les équations des lieux géométriques des points dont l'accélération satisfaite des conditions données. Par exemple, les points de la sphère OH pour lesquels l'accélération ju a une même valeur sont les petits cercles de cette sphère qui ont pour pôle le point Z. Le lieu des points pour lesquels j, = 0 a pour équation, entre les variables ô et 9 ,

cette équation définit un cône ayant son sommet au point 0. Le lieu des points pour lesquels jr est nulle est un autre cône dont l'équation est

tang0 = — w T coss.

Ces deux cônes sont des surfaces du second degré, que les plans perpendiculaires à Taxe OZ coupent suivant des cercles.

Considérons en effet le plan tangent mené à la sphère au point Z ; la droite OM prolongée perce ce plan en un point K dont les coordonnées, x = ZH et y = HK, sont égales à

x = R tang 9 cos f,

j/ = Rtang 0sinj>.

On

en

déduit

tang?

» tango = ,t-?— =

° U sin y .

et

fiina- y

Bill O — %

ensp = ;

Substituant dans les équations des cônes, il vient pour k premier

S18 MOUVEBEKT ÉPICYCLO&UL SPHÉRIQUE.

et pour le second

tU

d»fa+y**

ou x«+yt=-R*.^

équations de deux circonférences, dont Tune, Za, a son centre sur la droite ZI, parallèle à l'axe 0Y9 et l'autre, Zfr, a son centre sur le prolongement de ZH, parallèle à Taxe OX,

Ces deux cônes du second degré ayant un sommet commun, se coupent suivant deux génératrices, dont Tune est Taxe de rotation OZ ; l'autre génératrice OC est le lieu des points pour lesquels les composantes jt et jr sont nulles à la fois, c'est-à-dire pour lesquels l'accélération totale se réduit à sa composante parallèle à Taxe OZ.