VITESSE DE LA VITESSE, OU ACCÉLÉRATION TANGEKTIEUE

31 . Revenons à la courbe des espaces, construite pour représenter la loi du mouvement d'un point. Nous avons vu comment on pouvait déduire de cette courbe le tracé de la courbe des vitesses. Cette nouvelle courbe donne par ses ordonnées les vitesses du mobile sur sa trajectoire, aux instants définis par les abscisses correspondantes. La vitesse est ici une quantité généralement variable avec le temps ; on peut donc appliquer à cette quantité la définition du mot vitesse, et déterminer la vitesse de la vitesse linéaire, «nouvelle quantité très utile à considérer en mécanique, et à laquelle on donne le nom d'accélération tangentielle. Nous verrons plus

* Cette relation suppose que l'qn prend pour unité d'angle, conformément à l'usage adopté en analyse, l'angle au centre qui, dans un cercle quelconque, correspond à l'arc dont la longueur est égale au rayon.

aie couKsoa. 3

lard pourquoi on ajoute cette épithèle de tangentiette au mol : accélération.

En général, si t =f(t) est l'équation du mouvement d'un point, la vitesse r est donnée par la relation

et l'accélération (angentielle ; par l'équation

Soit OX l'axe des temps, OY l'axe commun parallèlement auquel nous porterons les ordonnées représentatives des espaces décrits, des vitesses et des accélérations tangenti elles.

On donne la courbe des espaces, ABCDEF ; nous en déduirons la courbe des vitesses, abedef, parla considération des tangentes menées à la première courbe.

yfc

~/fc^ô

*ïï

îii1

De la courbe des vitesses atwfe/* nous pouvons déduire, par un procédé identique, la courbe des accélérations tangentielles a'b'c'd'e'f', dont les ordonnées seront proportionnelles aux rapports des accroissements infiniment petits de la vitesse aux temps pendant lesquels ces accroissements se sont produits.

La courbe abedef coupe Taxe des temps en des points a, d, f, qui sont les projections des points A, D, F, où la courbe des

espaces atteint un maximum ou un minimum. Ces points définissent les époques où le mobile s'arrête sur sa trajectoire pour revenir sur ses pas. Les ordonnées de la courbe des vitesses sont positives entre les points a et d, parce que le mobile a entre ces époques un mouvement direct ; elles sont négatives entre d et f, parce que le mouvement du mobile est alors rétrograde.

De même, la courbe a'b'&d'e'f coupe Taxe des temps en des points V et jf, projections des points i et k, où la courbe des vitesses atteint un maximum ou un minimun, et des points I et K, où la courbe des espaces a une inflexion. Les ordonnées de la courbe des accélérations sont négatives entre ï et fc', parce que, entre les deux époques définies par ces points, la vitesse du mobile diminue; elles sont positives en dehors de ces régions, parce que la vitesse du mobile augmente. Elles passent par un maximum ou un minimum en /', parce qu'en / la courbe des vitesses a une inflexion.

52. Si Ton donnait la loi des accélérations tangenlielles, de manière qu'on pût tracer a priori la courbe a'b'ddfeff^ on pourrait revenir de cette courbe à la courbe des vitesses en observant que les aires de la première courbe sont proportionnelles aux accroissements des ordonnées de la seconde ; ce problème est identique à celui que nous avons résolu pour passer du tracé de la courbe des vitesses au tracé de la courbe des espaces. Si pour une certaine valeur particulière du temps, ^0=0MP on donne la valeur correspondante r0 = Mtm de la vitesse, on n'aura qu'à évaluer l'aire (positive ou négative) de la courbe des accélérations tangentielles à partir de l'ordonnée Mtm', jusqu'à une ordonnée quelconque FQ. Cette aire, qui sera ici négative, et égale en valeur absolue à la surface }Hjn'q[V^ terminée à la courbe m'd'l'q', devra être divisée par la longueur T de l'unité de temps prise à l'échelle ; le résultat sera ce qu'il faut retrancher de la vitesse de Mt m pour avoir, en grandeur et en signe, Ja valeur — Ptç de la vitesse à l'instant défini par l'abscisse 0Pt. La connaissance d'un point m de la courbe des vitesses suffit donc pour

38 ACCÉLÉIUTIOS

construire relte courbe d'après celle .tics accélérations tangenlieltes. De môme, on pourra déduire la courbe des espaces de la courbe des vilesses, dôs qu'on connaîtra un point M île la courbe cherchée, c'est-à-dire la valeur de l'arc s0 = M,M, correspondante à une valeur particulière du temps, t=0X. Analyliquemenl, si l'on a l'équation

qui fait connailre l'accélération tangentielle j en fonction du temps f, on en déduira la loi des vilesses par l'intégra lion de

l'équation ;= —, ce qui donne

puis la loi des espaces par l'intégration de l'équation — 'Il

ce qui conduit à la relation

«0el i'„ sont des constantes arbitraires, que l'on pourra dèt miner si l'on connaît la position du mobile et sa vitesse à un inslant défini par une valeur particulière t0 du temps.

La connaissance de la loi de l'accélération tangentielle définit donc entièrement le mouvement d'un mobile sur sa trajectoire, pourvu qu'on connaisse aussi la position du mobile à un moment donné et sa vilesse à ce même moment.

Lorsque ta trajectoire est une ligne droite, la tangente à la trajectoire se confond partout avec cette droite elle même, et l'accélération tangentielle est, comme nous le verrons, la seule accélération à considérer dans le mouvement. Dans ce

TANGENT1ELLB. 37

cas particulier, on peut supprimer Pépithèle de tangentielle et dire simplement V accélération .