CYLINDRIQUES

Le rapport des vitesses angulaires étant donné, la position du point A sur la ligne des centres s'en déduit sans aucune ambiguïté.

Du point 0 comme centre avec un rayon égal à OA, décrivons une circonférence ; de même, du point 0' comme centre, décrivons une circonférence avec un rayon égal à O'A ; ces deux circonférences seront tangentes en A. Imaginons qu'on leur communique autour de leurs centres, dans le sens des flèches, des vitesses angulaires égales respectivement à o> et a/ ; les deux circonférences, dans leur mouvement simultané, ne glisseront jamais Tune contre l'autre au point de contact A, puisque les vitesses linéaires de ces deux circonférences sont rigoureusement égales.

Si donc, à la place de ces circonférences, on monte sur les axes 0 et 0' deux roues matérielles ayant pour rayons OA et O'A, et si Ton forme les jantes de ces roues de matières ayant la propriété d'adhérer Tune à l'autre, il n'y aura qu'à communiquer à la roue OA un mouvement de rotation égal à o> pour donner à la roue O'A, en sens contraire, un mouvement de rotation égal à «>', car l'adhérence qui se développe au contact A empêche le glissement d'une des roues sur la jante de l'autre. Le problème de la transformation est ainsi résolu par le simple contact de deux roues : dans cette solution, le mouvement relatif de l'une des roues par rapport à l'autre est un roulement sans aucun mélange de glissement (g 180).

Lorsque la communication du mouvement s'opère ainsi par simple contact d'une roue à l'autre, le travail du frottement au point de contact des deux roues est nul; le frottement n'est pas nul, car c'est le frottement qui entraîne une roue au moyen de l'autre ; mais le travail du frottement, ou le produit de la force du frottement par le glissement relatif, est constamment égal à zéro1.

1 On verra plus tard la définition du travail mécanique. Il suffit ici de faire observer que le travail est le produit d'une force par un espace parcouru, et qu'il y a intérêt dans les machines à réduire le plus possible le travail du frottement et des autres résistances accessoires, dites ré$i$tancet pauiva.

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La solution qui vient dVtre indiquée csl appliquée dans l'industrie; on entoure les deux roues, soit d'une bande de cuir, soit d'une couche de gulla-percha, pour assurer une adhérent suffisante enlre les deux roues; enfin, c'est la simple adhérence de la roue motrice de la locomolive sur le rail qui rend possible la traction des trains sur les chemins de Ter,

Mais celle solution a des inconvénients qui ne permettent pas de L'employer d'une manière générale. Les parties en contact des deux roues s'usent rapidement par l'effet de leur pTOsion mutuelle. Il en résulte que l'adhérence diminue successivement; pour la ramener à sa limite, il faut rapprocher la axes 0 etO' de la quantité perdue par l'usure du pourtour des roues. On doit donc se réserver un moyen de rappela- | et de régler à volonté la pression des roues l'une sur l'autre, pression à laquelle le frottement est proportionnel. Or la pression mutuelle des deux roues se transmet aux arbres tournante et à leurs tourillons; augmenter la pression mutuelle dit deux roues au point A, c'est augmenter le frottement dans les tourillons des arbres; il est possible par conséquent, si l'on a de grands efforts à transmettre d'une roue à l'autre, qu'il n'y ait rien à gagner, comme travail du frottement, à l'adoption de la transmission par adhérence.

21 i. Solution géométrique tlu problème des engrenage*. — Les circonférences OA, O'A, jouent un grand rôle dans la théorie des engrenages. On les appelle les circonférences primitives des roues.

L'une des roues est la roite menante, l'antre la roue menée. Qu;ind l'engrenage est construit de telle sorte que chtfM roue puisse mener l'autre, on dit qu'il est réciproque. Tous le* engrenages ne sont pas réciproques, comme nous le reconnaîtrons plus loin.

Les deux roues ayant généralement des rayons inégal», on donne quelquefois le nom de pignon à la plus petite.

La solution générale du problème des engrenages dOUaU à armer l'une des roues, la roue menante, de pirtMBipndta dénis, qui font saillie sur la cîrconlérencc primitive, et I •*■

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couper dans l'autre roue, la roue menée, des cavités dans lesquelles les dents viennent successivement s'engager. Les dents doivent avoir un profil tel, que, dans le mouvement commun des deux roues conjuguées, elles soient toujours tangentes au profil du creux avec lequel elles sont en prise et qu'elles poussent dans la direction convenable. Il est nécessaire, en effet, que les deux profils soient toujours tangents au point où ils agissent l'un sur l'autre ; ils ne peuvent se couper, car il en résulterait que le plein delà dent pénétrerait dans le plein de la roue conjuguée; et s'ils se pressaient par une arête, cette arête agirait sur le profil à la façon d'un outil tranchant : ou bien elle en altérerait le tracé, ou bien elle s'effacerait ellemême par l'usure ; les profils seraient donc ramenés, par l'usure des pièces, aux conditions du contact géométrique qu'on peut leur assurer tout d'abord.

Dans le mouvement relatif d'une roue par rapport à l'autre, le profil du creux de la roue menée doit donc être constamment tangent au profil de la dent de la roue menante ; si Ton se donne arbitrairement le premier profil, on obtiendra le second en cherchant la courbe enveloppée par le premier profil, dans le mouvement relatif de la roue menée par rapport à la roue menante.

Le mouvement relatif de la roue 0* par rapport à la roue 0 (§ i 83) est une rotation autour du point A, égale à la somme «* + <*' des deux rotations données; en d'autres termes, la roue 0' roule sur la circonférence primitive 0.

Soit Ali (fig. 226) une courbe quelconque, arbitrairement choisie, attachée à la roue 0', et représentant le profil du creux; pour en déduire le profil correspondant de la dent à ajouter à la circonférence 0, on fera rouler sur la roue 0 la roue 0' qui entraine ce profil AB, et Ton construira la F,g* 2ic*

courbe formée par les interseclions successives de ce profil.

Le problème est ainsi ramené à trouver la courbe envelop-

I/arc ds est le même pour ces deux circonférences, puisque leurs vitesses linéaires sont égales.

et par suite ou bien

formule qui donne Tare de glissement relatif élémentaire en fonction du déplacement linéaire commun aux deux roues, mesuré sur les circonférences primitives.

Remarquons que, pour un même déplacement <b, l'arc de glissement daest proportionnel à p; comme cet arc d? entre en facteur dans l'expression du travail du frotltement, il y a intérêt à le réduire le plus possible.

On doit donc faire en sorte que p reste toujours très petit Les profils des deux roues doivent être choisis de manière que le contact puisse avoir lieu à un certain instant au point A lui-même; alors p est nul, et le glissement élémentaire est nul aussi. On limite d'ailleurs la dent de manière à maintenir p au-dessous d'une certaine valeur ; le contact des deux profils cesse au point où la longueur de la dent fait défaut ; la continuité de la transmission exige qu'au même moment deux nouveaux profils soient en prise au point A; ces deux profils se déplacent ensuite simultanément, comme l'ont fait les deux précédents, et quand leur contact cesse, le contact est établi au point A entre les deux profils qui les suivent. On voit par là qu'il y a une relation à observer entre la longueur des dents et l'espacement de deux profils consécutifs, mesuré sur l'une ou l'autre des circonférences primitives. Cet espacement est ce qu'on appelle le pas de l'engrenage.