Les vitesses angulaires des deux roues sont propor

tionnelles à ~ et à ^7 , et par suite proportionnelles à — et à

—, ; le rapport — des deux vitesses angulaires est donc égal

à l'inverse — , du rapport des nombres de dents sur chaque

roue. L'emploi des roues d'engrenage suppose donc que les vitesses angulaires sont commensurables entre elles *.

* La détermination du nombre de dents qu'il convient de donner aux rouet d'engrenage a été pour Uuygens l'occasion de découvrir les propriétés des fractions continues, et de créer ainsi une des plus fécondes théories de l'arithmétique. H appliqua cette théorie à la résolution du problème suivant : Une fraction exprimée par un grand nombre de chiffrée étant donnée, trouver toutes les fraclions en moindres terme* qui approchent si près de la vérité, qu'il soit impossible S en approcher davantage sans en employer de plus grands, « On doit regarder, dit Lagrange, la méthode employée par Uuygens, comme une dos principales découvertes de ce grand géomètre. La construction de son automate planétaire parait en avoir été l'occasion. En effet, il est clair que, pour pouvoir représenter exactement les mouvements et les périodes des planètes, il faudrait employer des roues où les nombres de dents fussent précisément dans les mêmes rapports que les périodes dont il s'agit; mais comme on ne peut pas multiplier les dents au delà d'une certaine limite dépendante de la grandeur de la roue, et que d'ailleurs les périodes des planètes sont incommensurables, ou du moins ne peuvent être représentées avec une certaine exactitude que par de très grands nombres, on est obligé de se contenter d'un à peu près, et la difficulté se réduit à trouver des rapports exprimés en plus petits nombres, qui approchent autant qu'il est possible de la vérité, et plus que ne pourraient faire d'autres rapports

En général, les roues d'engrenage ont au moins 6 ou S dents; le nombre de dents excède rarement 120'; le rapport des vitesses angulaires dune roue de 6 dents engrenant avec une roue de 120 est égal à 20.

On appelle raison d'un engrenage, ou d'un équipage de rouet dentées, le rapport de la vilesse angulaire de la dernière roue de l'équipage à la vilesse angulaire de la première, ce rapport étant pris avec le signe -+- ou le signe —, suivant que les rotations s'opèrent dans le même sens ou en sens contraires. 1! est facile de voir que la raison d'un équipage de roues dentées est le produit des raisons de chacun des engrenages particuliers qui composent cet équipage.

— — r c Prenons pour exemple l'équi-

î | page de roues déniées représenté

' parle diagramme ci-conlrc.

La roue A engrène avec la roue

B, laquelle porte un pignon b qui engrène avec la roue C;

celle-ci porte un pignon c qui engrène avec la roue D.

Si l'on appelle

les vitesses angulaires des arbres A, Hb, Ce, D, on aura puni les raisons des engrenages successifs {A, 11), (b, C), (c, D),

nous prenons ces rapports avec le signe — parce que nous supposons lous les engrenages extérieurs; les deux roues qui composent cliacun des engrenages tournent donc chacune en sens contraire de l'autre.

Fig. 131.

La rais

de!

équipage est, par définition, égale à — —;

quelconques

t'Atpèbre d'Kaler, g I' 1 On eicepte

seraient pa; conçus en ipimos nius grands. Huypmi naw' le moyen dos fractions continuel... . [Lagrange, tjMitiMH

D'US ENGllEKAGK.

elle esl aussi égale au produit des trois fadeurs négatifs

hm-5M-s>

Si l'on représente par A, B, 6, C, e, D, les nombres de dents des roues et des pignons, on aura

et par suite

Aie

"bcd"

La raison d'un équipage de roues dentées est donc égale au rapport du produit des nombres de dénis des roues menantes au produit des nombres de dents des roues menées, ce rapport étant pris avec le signe + si les deux roues extrêmes tournent dans le même sens, et avec le signe — si elles tournent en sens contraires.

lïELATtQa BUTRE LES BAYONS DE COUIIRORE DES DEUX PROFILS EH PRISE.

220. Soient 0, 0', les circonférences primitives tangentes en A;QP, PRles deux profils en prise tangents en P. La droite AP sera normale à la fois aux deux profils, et les centres de courbure des profils au point P seront situés quelque partsurcelte droite, en C pour le profil PQ, en C pour le profil PR.

Prenons à partir du point A , sur les circonférences primitives, deux arcs infiniment petits, AB, AD, égaux entre eux. Joignons CD, OB, CD, 0*1); puis faisons tourner les deux roues

S42 Fonsei-E

amener à la fois les deux points E et D au point A. Les points C et C étant les centres de courbure des profils, les droites CIÎ, CD sont encore normales à ces profils, et les points IS et D se réunissant au point A, ces droites CD, CI! viennent, en vertu du déplacement des deux roues, se placer en prolongement l'une de l'autre, suivant la normale commune aux deux profils dans leur nouvelle position.

Le mouvement angulaire relatif de la roue 0' par rapport a la roue 0 est donc une rotation qui amène la normale DC en prolongement de la normale CB, c'est-à-dire une rotation mesurée par l'angle EFC'de ces deux droites; d'un autre coté, le déplacement angulaire relatif de la roue 0' par rapport à la roue 0 est la somme des angles aux centres BOA, DO'A; et comme dans le triangle CC'F l'angle extérieur EFC est la somme des deux angles intérieurs opposés C et C, on a l'égalité