La théorie des engrenages coniques est calquée tur

celle des engrenages cylindriques.

Soient OB, OB' les deux axes concourants autour desquels

-doivent s'opérer les deux rotations, savoir, «t autour de OB, et

••' autour de OB'. Nous supposerons que ces rotations ont des sens contraires, c'est-à-dire que l'axe de la première soit OB, et Taxe de la seconde le prolongement de OB'.

Cherchons dans le plan BOB' un point A tel, que, entraîné successivement dans le mouvement autour de OB, puis dans le mouvement autour de OB',

il ait la même vitesse linéaire en grandeur et en direction. 11

faudra pour cela que Ton ait , en abaissant sur les axes les

pcrpcndiculares A6, Afr',

équation qui défini l une droite AO, diagonale du parallélogramme construit dans l'angle BOB', avec des côtés proportionnels à (0 et à u'. Imaginons que cette droite AO tourne autour de OB, de manière à engendrer un cône droit à base circulaire dont OB soit Taxe; puis, qu'elle tourne autour de OB', de manière à engendrer un second cône de révolution ; ces deux cônes seront tangents tout le long de la génératrice OA ; et si on leur communique, autour de leurs axes et dans le sens des flèches, des vitesses angulaires égales à u> et à *>', ils n'auront pas de glissement l'un sur l'autre, puisque les vitesses

CONIQUE. Ml

faires des points en contact sont égales el dirigées dans le ne sens au passage du plan BOB', i pourra donc transformer la rotation <u autour de OR en

e rotation u' autour de OB' par la simple adhérence entre

s deux cônes OB et OB', comme on transforme (g 213) la

talion autour d'axes parallèles par la simple adhérence entre deux cylindres.

Pour déduira de là l'engrenage conique, coupons les deux cônes par une surface sphérique ayant le point 0 pour centre et un rayon OA arbitraire.

Celte surface coupe les cônes suivant les deux cercles Ab, Ab'. Traçons sur la sphère, à partir du point A, une courbe quelconque qui représentera le profil du creux pratiqué dans la roue Ai)'; cherchons ensuite l'enveloppe des posilions de celle courbe dans le mouvement relatif du cercle kV par rapporta kb; ce mouvement se réduit au roulement du premier cercle de la sphère sur le second ; dans ce mouvement, chaque point du profil mobile décrit une courbe épicyeloîdale sphérique, et l'enveloppe des positions de ce profil s'obtiendra en appliquant les mêmes principes que ceux qui nous ont servi pour la recherche de L'enveloppe des positions d'une figure plane de forme constante, mobile dans son plan suivant une loi donnée (% 140).

Les courbes ainsi tracées serviront de directrices à des surfaces coniques ayant pour centre commun le point 0, cl dont l'une formera la surface de la dent d'une roue, et l'autre la surface correspondante du creux de l'antre roue ; les deux surfaces coniques se loucherontà un inslantdonné suivant une gftnérolrîce, et le plan élevé parcelle génératrice perpendiculairement aux deux surfaces coniques en prise passera par la droite OA, génératrice de contact des deux concs primitifs.

On pourra donc construire les engrenages coniques comme on construit des engrenages cylindriques, en effectuant sur la sphère les constructions analogues à celles qu'on effectuerait

r le plan, puis en prenant les ligures résultantes pour hases tfnes dont le sommet commun soit au point 0.

Le prolongement de ces surfaces jusqu'au point 0 est purement ficlif, enr, dons la pratique, on limite les roues à deux sphères concentriques.

235. Les constructions a exécuter sur une surface spliériquc matérielle sont aussi faciles que les constructions sur un plan; les arcs do grand cercle y remplacent les lignes droites. Nais il serait difficile de réaliser matériellement la surlace sphêrique auxiliaire pour y tracer les profils des pleins et des creux des deux roues. Si la sphère était dèvcloppable, on l'appliquerait sur un plan , et alors on n'aurait plus qu'à effectuer des conslruclions planes, qu'on reporterait ensuite sur la surface sphérique. Ce procédé est inadmissible, puisque la spotN n'est pas applicable sur un plan. Mais nous n'avons pas besoin pour notre tracé de toute la surface de la sphère auxiliaire; les figures à construire sont en elfct réparties sur deux tones étroites, l'une ayant le cercle Afc, l'autre le cercle kV \ <>ur lignes moyennes, on peut remplacer ces zones, à cause de leur petite largeur, par les surfaces développables des cù-nes droits qui leur sont circonscrits; on pourra alors dérouler les GOBA sur le plan, et on aura, par ce procédé, développé approximativement, non pas la sphère entière, mais les régions de cette sphère qui sont utiles pour la solution du problème propose.

Cette simplification a été imaginée par Tiedgold.

Au point A, pris sur la génératrice de conlacl des cônes primitifs, élevons surOA une perpendiculaire SS', dans le pin Ml deux axes. Elle coupera les axes en deux points S et S' qui seront les sommets respectifs des cônes de révolution circonscrits à la sphère suivant les cercles A6, Ai'. Ces cônes S et S' seront tangents enlre eux suivant leur génératrice commune SS', car ils ont pour plan tangent commun un plan conduit par SS' perpendiculairement ou plan BOB'. Imaginons que le tnoê de la hase de l'engrenage dessiné sur la sphère soit reporlï' sans altération sur tes cônes qui ont avec elle une zone commune tout le long des parallèles A6, AI»'. Considéré sur cflscônft aux environs de la généralrïce SS', le tracé ne différera n rien de celui d'un engrenage cylindrique qui aurait pourcentresle*

DE THEDGOLD. 301

Set S' et pour rayons primîlifs SA, S'A; on pourra, par

substituer approximativement

jrenage conique l'engrenage

ri que des deux secteurs pi 'un i-

rayonsSA,S'A, que l'on obtient

elnppant sur un plan l'cnscm-

iduiix surfaces coniques S et S'.

rivons sur un plan avec des

; égaux à SA et à S'A deux ccr-

ngents en A ; prenons sur les

féreiiccs des arcs MAN, M'AN' Fig' ■*

livement égaux en longueur ani circonférences A6, Kb' ;

Mm r-nsiiite cesarcs, le premier en un nombre entier, in,

liesrgales, le second, en m* parties M N

, de manière qu'il y ail égalité entre

rties : puis faisons le tracé d'un en-

;e cylindrique, entre les portions de

férenecs M'AN'. MAN. Une fois ce

iiil, il suffira d'enrouler les ligures

ainsi dessinées sur les cônes S et >s serviront de hase aux dents coûta l'engrenage dejrjandé.

s l'engrenage conique comme dans •nage cylindrique, les vitesses nngusont inversement proportionnelles aux nombres do s roues.

10S ACTOUli D'AXES NOS CONCOURANTS ET KOS F AU ALLÉ LES.

touble engrenage conique. °|

-opose de transformer un ml de rotalion u autour eOO en un mouvement de n w' autour de l'axe O'O'.

)3 ces deux axes par un f

eaxe auxiliaire AR autour PU «h

ious imaginerons une rotation égale à u".

FiE. va.

On pourra transformer d'abord la rotation u en la rotnlîon fa" au moyen d'une roue d'ongle ayant son somme! en A ; puis la rotation a" en In rotation w' au moyen d'une seconde roue d'angle ayant son sommet en B. Soient m, m" les nombres de dents des roues d'angle en A ; cl m",, m' les nombres de dents des roues d'angles en B ; on aura les relations

C'est la relation à laquelle doit satisfaire le double engrenage; on devra, tout en restant dons Ieslimiles pratiques convenables, trouver des nombres entiers qui vérifient celte équation.

ENGHEHAGE HYPET1D ■it.OÏHE.

257. Proposons-nous de trouver une transformation directe de la rotation •.., en la rotation u'.

Soit OC la perpendiculaire commune aux deux axes; prenons sur cctl* droite un point A quelconque que nous supposerons d'abord entraîné par la rotation o>, puis par la rotation ta'.

Le premier mouvement amène, dam un temps infiniment petit dl, le point A en un point B, a une dislance AB = wxOAxdl; l'élément AD «I perpendiculaire à la fois à 00' et à 00,. Le second mouvement amène le point A au point B', dans une direction Ail', normale à la foi) à 00' et à O'O',, et à. une dislance AB' = AO' Xw'xdi; l'angle B'AB est égal à l'angle de l'axe 001 avec Taxe O'O/,.

Il est donc impossible de trouver sur la droite 00' un point A tel, que, entraîné successivement par ebaque rotation, il ail

HYPERDOLOlDE. 305

dans les deux cas la même vitesse linéaire en grandeur et en direction; quelles que soient les surfaces en contact, il y aura toujours entre elles un certain glissement relatif dont In mesure est donnée par Tare BB', distance acquise, au bout d'un temps dt très court, par les deux points qui étaient en coïncidence au point A au commencement de cet intervalle de temps (g 182).

On peut du moins choisir le point A sur la droite 00', de telle sorte que le glissement BB' soit le plus petit possible.

Soit

00' = a, quantité donnée,

OA = x, quantité inconnue, qu'il s'agit de déterminer ;

la dislance AO' sera égale à a — x.

Nous aurons

ab = <**dtt

AB' = o/(a — x)dt.

Désignons par 6 l'angle des deux axes 00t, 0'(y, qui est égal à l'angle B'AB ; le triangle BAB' nous donne

BP=w«*W+ w'« (a— x)*dt%— 2ww'x(a— x) <fc*cos 0.

Le minimum de BB' s'obtiendra en égalant à zéro la dérivée du second membre par rapport à x. Il vient ainsi l'équation

e*fx — «* [a — *)— û>6/ [a — x) cos0-f- «w'xcosô = 0.

On en déduit

x t»* + otb/ co$9

a — * «* + ««' cos 0 "

On a donc pour déterminer le point A la proportion

OA __«/ o/+ft» cosfl

Si 8=0, l'engrenage devient cylindrique, et on retrouve la condition connue

OA t/

ESGACUGE lIPEBBOLOluL.

Si 0=90*, ^= fêf. Enfin si «=«\ on a ^=iteile

point A est le milieo de 00% quel que soit l'angle 0.

Le point A étant déterminé par cette condition, on connaîtra la direction BV de l'arc de glissement en construisant un triangle semblable au triangle ABB', dans lequel on connaît l'angle 0 et le rapport des deux côtés qui le comprennent Si par le point A nous menons une droite AA' parallèle à BB% celte droite, entraînée par le mouvement autour de OOt, décrira un hyperboloîde de révolution, et, entraînée par le mouvement autour de 0*0%, décrira un second hyperboloîde. Ces deux surfaces se toucheront suivant la droite AA1, et quand on les fera tourner toutes deux avec les vitesses «*, •*' autour des axes OOft, 0*0%, elles glisseront Tune sur l'autre le long de la génératrice de contact. En d'autres termes, la génératrice de contact sera à chaque instant Taxe de rotation et de glissement du mouvement relatif d'une des surfaces par rapport à l'autre (g 162) ; on peut donc construire cette génératrice en composant la rotation »' autour de 0'0'n avec une rotation égale et contraire à <*, autour de 00t i§ 1 70)

On pourra prendre sur les surfaces des deux hyperboloïdes deux zones conjuguées, c'est-à-dire deux zones comprises entre les parallèles menés sur chaque surface par deux points de la génératrice de contact AA'; puis on tracera sur ces deux zones une série de génératrices recti lignes équidistantes; ce seront les bases des dents dont on devra garnir chaque surface ; ces dents seront de petites portions de surfaces saillantes, des stries obliques sur les couronnes des roues, et qui glisseront les unes sur les autres dans le passage commun par la génératrice de contact des deux surfaces primitives.

VIS SAKS FIH ET ENGRENAGE DÉUCOÎOE.

238. Soit 0 une roue infiniment mince; cette rose, munie de dents UP profilées suivant une développante