ÉTUDE DU MOUVEMENT UNIFOIUIE

34. I/équation représente un mouvement uniforme, dans lequel la vitesse

-j- est constante et égale à a. L'accélération tangenlielle -pt

est égale à zéro.

Ln ligne des espaces , qui a pour équation s = s0-\- at, est une

ligne droite AM, dont l'ordonnée à l'origine OA est égale à *0 ; pour avoir un second point de la droite, prenons, à l'échelle, sur Taxe des abscisses, une longueur OD égale à l'unité de temps.

Menons l'ordonnée indéfinie DC, et la droite AB parallèle à OX ; puis, à partir du point B , prenons BC = a. Le point C appartiendra à la droite demandée.

La ligne des vitesses est une droite EF parallèle à l'axe des abscisses, et menée à une distance OE = a de cet axe. On pourrait d'ailleurs faire choix d'une échelle spéciale pour évaluer les ordonnées de cette ligne. La ligne des accélérations tangentielles est une droile qui coïncide avec l'axe OX lui-même.

35. Réciproquement, si l'accélération tangenlielle d un point mobile est constamment nulle, sa vitesse est constante , et si la vitesse d'un point est constante, le mouvement de ce point est uniforme.

Cette proposition résulte d'un théorème d'analyse : quand la dérivée d'une fonction est constamment nulle pour toute valeur de la variable comprise entre deux valeurs données, la fonction est constante dans l'intervalle de ces deux valeurs ; d'où l'on déduit facilement que deux fonctions qui ont des dérivées égales ont une différence constante.

Mais sans s'appuyer sur ce théorème on peut reconnaître sans peine la vérité de la proposition. 11 est évident qu'un point dont la vitesse est constamment nulle pendant un certain intervalle de temps, est immobile pendant cet intervalle de temps. Or l'accélération tangenlielle;, vitesse de la vitesse t>, peut être regardée comme la vitesse d'un point mobile dont le mouvement serait défini par les valeurs successives d'un

UNIFORME

arc Vj compté sur une trajectoire quelconque. Si la vitesse ; est constamment nulle, le point reste en repos, et Tare v a, par suite, une valeur constante.

Rendons à v sa signification de vitesse; si v est constante, l'espace parcouru par le mobile sur sa trajectoire, à partir d'un point défini par une valeur particulière de l'arc s=sQ, s'obtiendra en multipliant v par le temps f, et par conséquent l'équation du mouvement sera

ce qui définit un mouvement uniforme.

36. Soit FG la courbe représentative d un mouvement quelconque effectué par un mobile P sur sa trajectoire MN. OX est Taxe des temps, OY celui des espaces. Prenons deux points C et D sur la courbe et menons la droite 11K qui passe par ces deux points. Cette droite peut être considérée comme représentant un mouvement uniforme qui s'opérerait sur la même trajectoire MN.

Or on remarquera que le mobile fictif qui possède le mouvement uniforme ainsi défini, coïncide avec le mobile réel P aux époques t = OA et t = OB, c'està-dire aux points C et D', qui correspondent sur la trajectoire aux valeurs CA, DB , de l'espace décrit. La corde CD représente donc le mouvement uniforme qui amènerait le mobile de sa position C' à son autre position D', dans le temps qu'il emploie elfctivement à passer de Tune à l'autre, en vertu de son mouvement varié. La vitesse de ce mouvement uniforme est donnée par le rapport

DE

^=, ou par le rapport de l'espace total décrit C D' au temps

que le mobile met à le décrire. C'est donc la vitesse moyenne du mobile entre les deux époques considérées.

Exemple. — Un mobile part du repos au point E (fig. 23) et parcourt la distance EF avec une vitesse graduellement crois*

Fig. 23.

santé jusqu'au milieu I de celte distance ; puis, à partir de là, il continue à se mouvoir avec une vitesse graduellement

décroissante jusqu'au point F, où il arrive sans vitesse.

OA étant à l'échelle la durée du trajet, ia courbe des espaces partira du point 0 et aboutira au point B , à une distance AB = EF. Elle sera tangente, en 0, à Taxe OX, et, en B, à une parallèle à cet axe, car la vitesse au départ, pour t= 0, et à l'arrivée, pour t =OA, est nulle par hypothèse. On peut admettre que le mouvement soit réglé de manière à faire atteindre au mobile le milieu I de son parcours à la moitié de la durée de ce trajet, ce qui donnera Oc' = { OA pour l'abscisse correspondante au passage en I. On sait, par l'énoncé, qu'en ce point la vitesse atteint son maximum ; la courbe des espaces a donc une inflexion au point C. La courbe des vitesses sera représentée, clans ce cas, par une courbe OcA, passant par les points 0 et A et ayant en c une tangente horizontale, et la ligne d'da! des accélérations tangentielles coupera l'axe OX au point c'. On pourra régler le mouvement de manière que cette dernière ligne soit droite. S'il en est ainsi, la courbe des vitesses OcA sera une parabole ayant pour axe la ligne {/C, et les trois points 0, C,B, seront sur une même ligne droite OB. Cette droite définit le mouvement uniforme moyen du mobile entre son départ E et son arrivée F. La u les se de ce mouvement uniforme est la moyenne de toutes les vitesses successives du mobile, ou de toutes les ordonnées delà courbe OcA.

Pour traiter cette question par le calcul, représentons la droite d'efaf par une équation de la forme

a et b désignant des constantes.

UNIFORME. 41

Soit T la durée totale du parcours ; nous devons avoir j= — a

•pour t = T; donc b = -=r, et l'équation précédente devient

Remplaçons j par --r- et intégrons ; il viendra

dt

sans ajouter de constante, puisque la vitesse v est nulle

pourf = 0; cette équation représente la parabole OcA ; elle

donne v=0 pour t = T, c'est-à-dire au point A, et t; maxi-

T mum pour t = ^, au milieu de l'intervalle OA.

ds Enfin, remplaçant v par -r. et intégrant de nouveau, il vient

sans ajouter non plus de constante , puisque s et t sont nuls à la fois. Cette dernière équation donne s = J aTf pour * = T, et 8=^01* pour f = ±T. Si l'espace total parcouru, AB =EFf est donné d'avance et égal à S, on en déduira la valeur de la quantité a en résolvant l'équation

ce qui donne

fis

La condition du contact de la courbe des espaces en 0 ou en B avec des lignes horizontales est toujours remplie lorsqu'il s'agit du mouvement d'un corps matériel qui part du repos et qui y revient, car il est impossible que la vitesse d'un tel corps passe subitement de la valeur zéro à une -valeur finie, ou d'une valeur finie à la valeur zéro; elle

« ITOtVEUtKT

passe, en réalité, par lous les degrés de vilesse intermédiaires. La subslilulîon d'une droite à la courbe, ou d'un mouvement uniforme moyen au mouvement varié réel, efface celle transition, et fait succéder une vilesse finie à une vilesse nulle. Mais il ne faut pas oublier que cette substitution est entièrement fictive.

APfJ.ICATlON. — GfiAPIIIQUK DES TRAISS.

37. On appelle, dans l'exploitation des chemins de fer, graphique des trains, une épure où le mouvement de lous les trains est représenté par des lignes droites.

Pour construire cette épure, on prend sur un axe horizontal 1\ parties égales représentant les heures d'une journée ; on les subdivise chacune en parties plus petites représentant des intervalles de 10 minutes ; les intervalles plus petits sont appréciés à l'œil. Sur un autre axe, perpendiculaire au premier, on porte des parties proportionnelles aux distances, el l'on place les stations successives de la ligne d'après leurs distances à l'origine du chemin. Celte construction permet de couvrir l'épure d'un réseau de droites rectangulaires, dont les unes, verticales, correspondent à une heure délerminée de la journée, el les autres, horizontales, à une slalion déterminée.

Considérons un fragment de l'épure du mouvement des trains. Soient A, B, C, D, E les stations réparties sur l'axe vertical à leurs dislances respectives; les verticales éq,uidistanles XII, 1,11,111, représentent les heures de midi, 1 heure, 2 heures, etc.

Un train part de la slalion A à midi et arrive à la station B à midi 50 minutes. Le mouvement moyen qu'il a pendant ce trajet e^t représenté par la droite ab.

Le train reste 5 minutes dans la slalion B. 11 repart donc à midi 35 minutes. Sa vilesse moyenne étant supposée la même, le mouvement, à partir de la station B, sera représenté par

une droite b'e parallèle à ab. Celte droite vient couper la ligne de la station C au point correspondant à 1 heure 1 5 minutes. Si le train passe ensuite 25 minutes dans cette station C, il en repart à 1 heure 40 minutes et arrive à la station D a 2 heures 5 minutes; il en repart à 2 heures 10 minutes et arrive à la station E 1 2 heures 55 minutes, et ainsi de suite.

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Son mouvement, réduit aux vitesses moyennes en dehors des temps d'arrêt, est donc représenté par la ligne brisée aWcddd't, dont les parties inclinées correspondent à la marche et les parties horizontales au stationnement.

Les trains plus lents sont représentés par des lignes plus voisines de l'horizontale, telles que le tracé -x^'f...; les trains plus rapides, par des lignes plus voisines de la verticale; tel est le tracé aacctftfee. Il correspond à un train rapide, qui part de A à midi 50, qui truie la station B, arrive en Cà 1 heure 30 minutes, en repart a 1 heure 35 minutes, brûle la station D et arrive à la station E à 2 heures 5 minutes. On voit que ce train part du point A plus lard que le train abb'c..., et qu'il atteint et dépasse ce train dans ta station C; le train abb'c... est alors garé cl le train rapide repart plus tôt que lui. Le

H 1I0UVEMEM UMFORUE.

graphique des trains met en évidence ces rencontres do trains de différentes vitesses, et permet de combiner les heures de leurs passages aux divers points d'arrêt de manière à éviter les collisions.

Les Irains qui marchent en sens contraire sont figurés sur l'épure par des lignes inclinées dans l'autre sens. Ainsi, le train i88Y part de E à 1 heure 50 minutes, arrive en D à 2 heures 25 minutes, y séjourne 5 minutes et arrive en C à 2 heures 55 minutes, Il croise les deui trains aacceeat obcile dans l'intervalle compris entre les deux stations t> et F,, ce qui n'a pas d'inconvenant si le service est établi sur la double voie entre ces stations. A s'en rapporler strictement a l'épure, onpourraitdéterminer l'heure et lelieu de chacun des croisements. En effet, la droite c'i'ee coupe la droite eÎ en un point m qui correspond sur l'axe des dislances à uncerlain point du chemin, bien défini pirsa distance Ain' à l'origine, et sur l'axe des temps, à un point qui définît une heure bien déterminée. Maïs nous avons vu que la substitution d'une droite à la courbe des espaces revient à la substitution d'un mouvement moyen uniforme au mouvement réel, qui est nécessairement varié : c,c, de sorte qu'en réalité les lignes

du mouvement vrai, au lieu d'être droites, devraient être des courbes sinueuses, analogues à celle que nous avons indiquée dons le paragraphe précédent. Cette altération peut déplacer les points de rencontre des deux lignes, comme on le voit par la figure ci-contre.

Les deux droites tfdee , eS se coupent en m. Mais les courbes réelles ont des formes sinueuses, telles que c'c'pqet, er*3, et elles se coupent en |t; le point de rencontre est donc déplacé sur la ligne vers le point E de la quantité m'/.

MOU SEMENT RECTILIGNE UKlFORMÉHEITr VARIÉ.

38. Le mouvement rectiligne et unifonne est le plus simple de tous les mouvements ; c'est celui pour lequel la vitesse est constante, et dans lequel les espaces parcourus croissent proportionnellement au temps. L'accélération est constamment nulle dans ce mouvement. Le mouvement rectiligne uniformément vaiié est de même le plus simple des mouvements variés. C'est celui dans lequel Y accélération est constante, et dans lequel la vitesse croît proportionnellement au temps. Ces deux conditions rentrent l'une dans l'autre. En effet, si la vitesse croit proportionnellement au temps, l'accélération, qui n'est autre chose que la vitesse de la vitesse, est une quantité constante qui indique l'accroissement de la vitesse du mobile pendant l'unité de temps. Et réciproquement, dire que l'accélération est constante, c'est dire que la vitesse croit d'une même quantité pendant des temps égaux, ce qui revient à dire qu'elle croit proportionnellement au temps.

Le mouvement uniformément varié est essentiel à considérer dans la mécanique ; nous verrons qu'on y ramène tous les autres. C'est de plus une espèce de mouvement qu'on réalise avec une grande facilité ; car il suffit de laisser tomber un corps pesant suivant la verticale pour en avoir un exemple.

L'accélération j du mouvement varié étant donnée, il est facile d'en déduire la vitesse v, à un moment quelconque, dès qu'on connaît la valeur v0 de la vitesse à un instant déterminé, pour t=0 par exemple. On sait en effet que par chaque unité de temps, la vitesse s'accroît de la quantité;; donc au bout de t unités de temps, la vitesse v0 se sera accrue de la quantité ji, et la vitesse, à ce moment, sera représentée par l'expression

C'est à quoi on serait parvenu en intégrant l'équation

dv 2l=*